Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
интегралы.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
793.76 Кб
Скачать

 

13

b

 

m (b a) f (x) dx M (b a) .

(2.4)

a

Доказательство. Докажем первое свойство. Остальные доказываются аналогично.

a

 

n

 

n

 

 

f (x) dx lim

f ( i ) xi

lim 0 xi

0

 

b

0

i 1

0

i 1

 

 

5. Теорема о среднем значении.

Пусть функция интегрируема на отрезке

и

m f (x) M

x [a, b]. Тогда

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

f (x) dx (b a) ,

(2.5)

a

где m M .

Доказательство.

1 b

m b a a f (x) dx

называется средним значением функции

на отрезке

.

По свойству 4 выполняются неравенства

(2.4). Следовательно,

 

1

b

 

 

M . Обозначив

f (x) dx , получим (2.5)

 

b a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке

, то существует хотя бы одна

 

 

 

b

 

 

точка [a,b] :

f (x) dx f ( ) (b a) .

 

 

 

 

 

a

 

 

Пример. Найти среднее значение функции

на отрезке

.

 

 

 

 

 

 

 

2.3.Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция f (x) интегрируема на промежутке

, то она интегрируема и на

любом промежутке [a, x] , где a x b . Интеграл

 

является функцией, завися-

щей от

. Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(x) f (t) dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

Теорема 1 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если

функция

интегрируема на отрезке

, то функция (x) будет непрерывной функ-

цией на этом отрезке.

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Придадим

точке

x0 [a, b]

приращение x так, чтобы

 

 

 

 

x0

x

x0

x0

x

x0 x [a, b]. Тогда (x0 ) (x0

x) (x0 )

f

(t) dt

f (t) dt

f (t) dt .

 

 

 

 

 

a

a

 

x0

По лемме об интегрируемой функции из п. 2.1 функция

ограничена на отрезке

:

 

. По теореме о среднем значении из п. 2.2.2 существует

 

x0

x

 

 

 

 

 

 

такое ,

что

f (t) dt x . Следовательно, lim (x0 ) lim x 0

 

 

 

x0

 

x 0

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

Теорема 2 (Барроу). Если функция

непрерывна, то

 

:

 

 

 

 

.

 

(2.6)

Следствие. Если функция

непрерывна на отрезке

, то для нее всегда сущест-

вует первообразная.

 

 

 

 

 

 

Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если функция

непрерывна на отрезке

, то верна формула:

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

f (t) dt F (b) F (a) .

 

(2.7)

 

 

a

 

 

 

 

Доказательство. Пусть функция

непрерывна на отрезке

. Тогда по теореме

Барроу функция

является первообразной для функции

 

. Пусть F(x) - также

первообразная для

функции

.

Тогда по теореме о

первообразной из п. 1.1

 

 

 

 

x

 

 

(x) F(x) C . Следовательно,

(x) f (t) dt F (x) C .

При

a

 

x

 

C F(a) . Тогда f (t) dt F (x) F (a) . При

x b получаем

a

 

формулу (2.7)

 

Формулу (2.7) называют также основной формулой интегрального исчисления. Разность в правой части формулы обозначают таким образом: F (x) ba .

a

f (x) dx F (b) F (a) F (x) ba .

b

 

 

 

 

 

3

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

 

 

3

1

ln 9 ln 5 ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

ln

 

2 x 3

 

 

9 / 5

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

Формулу Ньютона-Лейбница можно применять при вычислении инте-

грала

 

 

 

 

 

 

 

только тогда,

когда подынтегральная функция непрерывна на отрезке

. Нельзя применить формулу Ньютона-Лейбница, например, при вычислении инте-

 

3

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

грала

 

,

 

т.к. подынтегральная функция

 

терпит разрыв в точке

 

 

2 x 3

 

2 x 3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.

Замена переменной в определенном интеграле

СР

Определение. Функция,

имеющая непрерывную производную, называется непре-

рывно-дифференцируемой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема.

Пусть функция

 

 

непрерывна на отрезке

, функция x (t) не-

прерывно дифференцируема на отрезке [ , ] . Причем, ( ) a, ( ) b . Пусть, кроме

того, функция (t) отображает отрезок [ , ] на отрезок

. Тогда верна формула