- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства
- •1.3. Таблица интегралов
- •1.4. Подведение под знак дифференциала
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8.1. Разложение многочлена на множители. Простейшие дроби.
- •1.8.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
- •Примеры
- •1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок
- •2. Определенный интеграл
- •2.2. Свойства определенного интеграла
- •2.2.1. Свойства, выражаемые равенствами
- •2.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами.
- •2.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •2.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы первого рода
- •3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода
- •3.1.2. Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода
- •3.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)
- •3.4. Свойства несобственных интегралов
12
Лемма (о связи между интегрируемостью и ограниченностью). Если функция ин-
тегрируема на отрезке |
, то она ограничена на этом отрезке. |
|
|
Доказательство. Предположим, что функция |
не ограничена на отрезке |
. |
|
Тогда она не ограничена и на каком-то промежутке |
разбиения отрезка. |
||
Следовательно, предел (2.3) не может быть конечным. Полученное противоречие доказывает лемму
Теорема (о связи между непрерывностью и интегрируемостью). Если функция
непрерывна на отрезке |
, то она интегрируема на этом отрезке. |
|
||||
Геометрический смысл определенного интеграла. Если функция |
непрерыв- |
|||||
ная и неотрицательная на отрезке |
, то |
|
, где - площадь фигуры, огра- |
|||
ниченной кривой |
, осью |
|
и прямыми |
, |
. |
|
2.2.Свойства определенного интеграла
2.2.1.Свойства, выражаемые равенствами
|
|
Пусть функции |
и g(x) |
интегрируемы на отрезке |
. Тогда |
|||
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
1. |
f (x) dx f (x) dx . |
|
|
|
|
|||
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
b |
|
|
|
|
2. |
f (x) dx f (x) dx f (x) dx , где a c b . |
|
|
|||||
|
a |
a |
|
c |
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
b |
|
|
|
3. |
f (x) g(x) dx f (x) dx g(x) dx . |
|
|
|||||
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
Доказательство. Докажем первое свойство. |
|
|
|||||
|
a |
|
n |
|
|
n |
|
b |
|
f (x) dx lim |
f ( i |
) (xi 1 xi ) lim |
f ( i ) (xi |
xi 1 ) f (x) dx |
|||
|
b |
0 |
i 1 |
|
0 |
i 1 |
|
a |
2.2.2.Свойства, выражаемые неравенствами.
1. |
Пусть |
функция |
- |
интегрируема на отрезке |
. Если f (x) 0 |
x [a, b] , то |
||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Пусть функции |
и |
интегрируемы на отрезке |
. Если |
|
f (x) g(x) |
|
x [a,b], то |
||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx g(x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Пусть функция |
|
- интегрируема на отрезке |
. Тогда |
|
f (x) dx |
|
|
|
f (x) |
|
dx . |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
4. |
Пусть функция |
|
- интегрируема на отрезке |
и |
m f (x) M |
|
|
x [a, b]. |
||||||
Тогда