11

Первый интеграл вычисляется с помощью замены

. По формуле (1.5)

получаем:

.

Второй интеграл вычисляется с помощью замены

:

.

Третий интеграл вычисляется с помощью замены

:

.

Пример

=

.

Учитывая вторую из формул (1.12), получаем:

◄

2.

Определенный интеграл

y

2.1.

Определение определенного ин-

y

f (x)

теграла

Пусть на отрезке

определена функ-

ция

(рис. 2.1). Разобьем отрезок

на

частей точками

.

(2.1)

В каждом из отрезков

возьмем

произвольным образом точку

и найдем зна-

x

чение функции в этой точке

.

a x0

x1

2 x2

xi 1 i xi

xn 1

x

b

Запишем сумму

n

n

1

,

(2.2)

Рис. 2.1

где

. Обозначим

.

Определение. Если существует конечный предел

,

(2.3)

не зависящий от способа разбиения (2.1) отрезка

и выбора точек

, то его называют

определенным интегралом от функции

на отрезке

и обозначают

.

Если предел (2.3) существует,

то функцию

называют интегрируемой на от-

резке

.

Если

и - числа, то интеграл

также является числом.