8

Примеры

1.

.

2.

.

3.

.

4.

Найти интеграл

.

►Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби.

.

(1.9)

Приведем правую часть дроби (1.9) к общему знаменателю:

.

Дроби равны, их знаменатели равны. Следовательно, равны и числители:

.

(1.10)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

.

Отсюда находим:

Подставляя полученные коэффициенты в (1.9), получаем:

.

Интеграл есть интеграл вида

(п. 1.7), поэтому его можно было найти спосо-

бом, описанным в п. 1.7.2.◄

Замечание. Коэффициенты

и

можно было найти другим способом. Например,

при

из (1.10) сразу получаем:

,

. Подставляя

в (1.10), полу-

чим:

. Следовательно,

.

СР

Рассмотрим вычисление интегралов вида

, где

- некоторая

рациональная функция, например,

.

1. Универсальная подстановка

.

,

.

(1.11)

9

2. Пусть

подынтегральная

функция

нечетная

относительно

,

то

есть

. Например,

.

В этом случае

можно сделать замену

. По формуле (1.5):

.

3. Пусть

подынтегральная

функция

нечетная

относительно

,

то

есть

. Например,

. В этом случае

можно сделать замену

. По формуле (1.5):

.

4. Пусть

подынтегральная

функция четная относительно

и

,

то

есть

дойдет замена

.

. Например,

. В этом случае по-

Учитывая тригонометрические формулы

получаем по формуле (1.5):

,

,

(1.12)

.

5.

,

.

6.

,

.

7.

Подобные интегралы вычисляются с помощью формул по-

нижения степени:

,

.

8.

,

,

. В данном случае приме-