2.

9 2

8

= arcsin3 3

8

9 2 9 2= arcsin3 +16

9 21212+ = arc

sin3 +13

9 2+ ◄

Интегрирование по частям применяется, например, при вычислении следующих ин-

тегралов:

,

,

,

,

,

,

,

и т.п.

Теорема. Пусть

- строго монотонная дифференцируемая функция. Тогда

верна формула

.

(1.5)

ти по

в (1.5):

Замечание. Иногда бывает удобнее делать замену

.

Пример

6

44 77+ = =3

143 4 173 7+ ◄

,

,

,

,

(

,

),

(

,

).

Пример. Найти

.

►

Таким образом,

.

6

Следовательно,

или

.

(1.6)

Формула (1.6) является реккурентной.

Для того чтобы найти интеграл

, сначала

нужно будет найти предыдущий интеграл

и т.д.

Пример. Найти интеграл

.

►

,

,

.

Следовательно,

◄

Рассмотрим вычисление интегралов вида

.

Определение. Рациональная дробь

называется правильной, если степень мно-

гочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе:

. В противном слу-

чае (

) дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно предста-

вить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:

,

(1.7)

где

,

- многочлены,

- правильная дробь.

I.

.

II.

(

.

III.

(

).

IV.

(

).

7

где

1)

,…,

– вещественные корни

кратности

,…,

соответственно;

2)

квадратные

трехчлены

,…,

не имеют вещественных

корней:

,…,

;

3)

.

Пример. Разложить на множители многочлен

.

►Как известно, рациональными корнями многочлена

могут быть числа

, где

- делитель числа

,

- делитель числа

. Так как

;

=

,

, то рациональными корнями многочлена

могут быть числа

:

,

. Поскольку

, то

является корнем

. Следовательно,

делится

нацело

на

.

Разделив

на

,

получаем:

. Таким

образом,

)◄

Теорема (о представлении правильной дроби). Пусть

- правильная дробь,

знаменатель которой имеет вид:

,

где

1)

,…,

– вещественные корни

кратности

,…,

соответственно;

2)

,…,

.

Тогда дробь

может быть представлена в виде суммы конечного числа простей-

ших дробей:

+

+

Примеры

.

(1.8)

1.

.

2.

.

3.

◄

Константы ,

, ,

, , … находятся с помощью метода неопределенных ко-