1) ;2);

3) 4).

У цих рівняннях — стохастична складова.

Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків приймається на підставі статистичної значущості коефіцієнтів іПереваги цього тесту визначаються можливістю розрізняти випадок чистої і мішаної гетероскедастичності.

Можливі чотири випадки:

1. є статистично значущими;

2. —статистично значуща, — статистично незначуща оцінка;

3. —статистично значуща, — статистично незначуща оцінка;

4. —статистично незначущі.

У першому випадку залишки гетероскедастичні, причому існує чиста і мішана гетероскедастичність. У другому випадку залишки мають мішану гетероскедастичність. Третій випадок свідчить про наявність чистої гетероскедастичності. У четвертому випадку гетероскедастичність відсутня.

Місяць	Y		u	u2
1	2,36	2,00	0,36	0,1296
2	2,20	2,06	0,14	0,0196
3	2,08	2,13	–0,05	0,0025
4	2,20	2,19	0,01	0,0001
5	2,10	2,24	–0,14	0,0196
6	2,12	2,34	–0,22	0,0484

Приклад 7.4. Нехай потрібно перевірити наявність гетероскедастичності для побудови економетричної моделі, яка описуватиме залежність між рівнем заощаджень і доходом. Вихідні дані наведено в табл. 7.4.

Приклад 7.4. Нехай потрібно перевірити наявність гетероскедастичності для побудови економетричної моделі, яка описуватиме залежність між рівнем заощаджень і доходом. Вихідні дані наведено в табл. 7.4.

Місяць	Дохід, гр. од.	Заощадження, гр. од.	Місяць	Дохід, гр. од.	Заощадження, гр. од.
1	10,8	2,36	10	17,5	2,59
2	11,4	2,20	11	18,7	2,90
3	12,0	2,08	12	19,7	2,95
4	12,6	2,20	13	20,6	2,82
5	13,0	2,10	14	21,7	3,04
6	13,9	2,12	15	23,1	3,53
7	14,7	2,41	16	24,8	3,44
8	15,5	2,50	17	25,9	3,75
9	16,3	2,43	18	27,2	3,99

Таблиця 7.4

Використаємо параметричний тест Гольдфельда—Квандта для встановлення гетероскедастичності у визначенні залежності між наведеними показниками.

Розв’язання. Ідентифікуємо змінні:

Y — заощадження — залежна змінна;

X — дохід — пояснююча змінна,

Крок 1. Вихідна сукупність спостережень упорядковується відповідно до величини елементів вектора Х, який може впливати на зміну величини дисперсії залишків. Оскільки в табл. 7.3 дані про дохід упорядковані, то переходимо до наступного кроку.

Крок 2. Відкинемо c спостережень, які розташовано в центрі векторів Х і Y, де , і поділимо сукупність спостережень на дві частини, кожна з яких міститьспостережень.

Крок 3. Побудуємо економетричну модель за першою сукупністю, яка містить спостереження від першого по сьомий місяць включно: . Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі запишеться так:

Звідси  = 2,122; = 0,007.

Економетрична модель має вигляд

I: .

Крок 4. Побудуємо економетричну модель виду за другою сукупністю спостережень, починаючи від дванадцятого до вісімнадцятого місяця.

Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі запишеться так:

Звідси = – 0,408; = 0,165.

Економетрична модель має вигляд:

II:

Крок 5. Знайдемо розрахункові значення залежної змінної моделі — розміру заощадження за кожною з двох моделей, івизначимо відхилення фактичних значень заощаджень від розрахун­кових.

Таблиця 7.5 Таблиця 7.6

У табл. 7.5 наведено результати обчислення суми квадратів залишків за першою моделлю S₁ = 0,2202.

У табл.7.6 наведено обчислення суми квадратів залишків за другою моделлю S₂ = 0,3039.

Крок 6. Обчислимо критерій , який наближено відповідаєF-розподілу:

.

Порівняємо його значення з табличним значенням F-критерію за вибраного рівня довіри Р = 0,99 і ступенях свободи ₁ = 5 і ₂ = 5. F_табл = 11. Звідси R^* < F_табл, що свідчить про відсутність гетероскедастичності.

7.3.5. Тест рангової кореляції Спірмена. Наявність чистої гетероскедастичності в сукупності спостережень можна виявити, розрахувавши рангові коефіцієнти кореляції Спірмена. На базі коефіцієнта Спірмена побудовано відповідний тест, алгоритм якого полягає в реалізації таких кроків:

Крок 1. Побудова простих економетричних моделей 1МНК залежної змінної (Y) з кожною з пояснювальних змінних (Х_j).

Крок 2. Визначення вектора залишків для кожної з побудованих моделей (u_j).

Крок 3. Ранжування вектора кожної пояснювальної змінної (Х_j) і кожного з векторів від меншого до більшого та заміна компонентів цих векторів їхніми рангами.

Крок 4. Визначення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена за формулою:

, (7.7)

де d_ij — різниця між рангами x_ij та ;;

n — кількість спостережень; m – 1 — кількість пояснювальних змінних.

Крок 5. Розраховується t-статистика для визначення рівня статистичної значущості кореляції Спірмена за формулою:

. (7.8)

Доведено, що ця характеристика має закон розподілу Стью- дента з кількістю ступенів свободи .

Якщо розраховане значення t-статистики перевищує критичне значення при ступені свободи n – 2 та вибраному рівні значущості , то гіпотезу про наявність гетероскедастичності потрібно прийняти. У протилежному випадку вона відхиляється.

Розглянемо застосування тесту рангової кореляції для визначення наявності гетероскедастичності у статистичній інформації.

Приклад 7.5. Необхідно дослідити наявність гетероскедастичності у статистичній інформації, поданій в табл. 4.2 (приклад 4.2).

Розв’язання

1. Побудуємо прості економетричні моделі, що описують залежність між прибутком та кожним з чинників. Наведемо ці моделі:

1) ;

2) ;

3) .

2. Розрахуємо залишки за цими економетричними моделями (табл. 7.7).

3. Визначимо ранги для кожної з пояснювальних змінних та залишків. Для цього кожну змінну та кожний із залишків пронумеруємо порядковим номером від одиниці до 20. Потім впорядковуємо кожну пояснювальну змінну та залишки, посортувавши їх від меншого до більшого (Exel, меню «Данные», розділ «Сортировка»). У результаті порядковий номер чисел цих показників зміниться і характеризуватиме ранг його в масиві.

Запишемо ранги пояснювальних змінних та ранг залишків у табл. 7.8.

4. Знайдемо різниці між рангами j-ї змінної та залишками, отриманими на основі цієї змінної, піднесемо їх до квадрата (табл. 7.9).

16	16	16
25	9	9
1	9	81
4	36	1
1	4	144
36	0	1
1	9	100
1	9	36
1	100	36
121	9	121
64	36	81
4	9	1
9	9	9
16	1	49
36	4	16
0	16	169
0	4	36
25	225	36
25	0	169
196	169	9

Таблиця 7.9

5. Визначимо коефіцієнти рангової кореляції (простий мішаний момент):

;

;

.

6. Розрахуємо t-критерії для визначення статистичної значущості коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена за формулою:

;

; ;

.

Критичне значення t-критерію для  = 0,05 і ступенів свободи n – 2 = 18 дорівнює: .

Порівнюючи розраховані t-критерії з критичним значенням, робимо висновок, що коефіцієнти рангової кореляції тає статистично значущими. Звідси можна зробити висновок, що пояснювальні змінніХ₁ та Х₂ можуть викликати гетероскедастичність.

7.3.6. Тест Парка. Для визначення наявності гетероскедастичності у статистичній інформації Р. Парк запропонував параметричний тест, в основі якого лежить визначення кількісної залежності між дисперсією пояснювальної змінної, яка може викликати гетероскедастичність, та значеннями цієї змінної за функцією:

, (7.9)

де — дисперсіяj-ї пояснювальної змінної;

—дисперсія залишків;

—i-те значення j-ї пояснювальної змінної;

—стохастичні залишки для i-го спостереження j-ї пояснювальної змінної.

Прологарифмувавши вираз, дістанемо:

,

де вираз v_j ln(u_j) замінено на v_j.

Оскільки , як правило, невідомі, то Парк запропонував замінити їх квадратами залишків.

Розглянемо алгоритм тесту Парка.

Крок 1. Побудова рівняння регресії між змінною (Y) та відповідною пояснювальною змінною (X_j)

.

Крок 2. Визначення залишків та піднесення їх до квадрата.

Крок 3. Знаходження логарифмів та.

Крок 4. Побудова рівняння регресії

; (7.10)

де .

Якщо досліджуються кілька пояснювальних змінних, то таке рівняння регресії будується для кожної з них.

Крок 5. Перевірка статичної значущості оцінки параметра на основіt-критерію . Якщо фактичне значенняt-ста­тистики більше за критичне значення t-критерію, для вибраного рівня значущості  і ступеня свободи n – 2, то є статистично значущий. А це означає, що гіпотезу про наявність гетероскедастичності, що викликаєтьсяX_j, не можна відхиляти. Зауважимо, що тест Парка не вичерпує проблему визначення гетероскедастичності, бо вона може існувати навіть якщо врахувати ті пояснювальні змінні, які в даному випадку не досліджуються, але вони впливають на залежну змінну. Тому поряд із цим тестом доцільно використовувати інші. Зокрема, тест Глейзера доповнює тест Парка аналізом гетероскедастичності, що викликається тими змінними, які не включено до економетричної моделі. Він може виявити наявність мішаної гетероскедастичності.

Приклад 7.6. Необхідно перевірити наявність гетероскедастичності у статистичній інформації, наведеній у табл. 4.2 (приклад 7.2), використавши параметричний тест Парка.

Розв’язання

1. Побудуємо прості економетричні моделі, які описують зв’язок залежної змінної з кожною з пояснювальних.

2. Визначимо залишки за кожною з моделей та піднесемо їх до квадрата:

7,803728	2,12766	0,228826
7,114145	5,119856	3,128598
0,449769	4,905264	3,283594
5,252388	9,809945	16,47719
4,689516	4,271538	11,3932
94,18272	108,3832	31,05978
16,31553	33,70402	28,61863
3,204467	8,620936	5,642439
3,659451	13,50481	3,766662
1,991663	2,590736	0,984613
4,674746	3,028306	13,25007
0,081215	0,229393	21,62587
3,85794	0,271494	0,865814
50,226	0,424683	1,143849
1,189067	0,343823	3,628063
0,115322	0,207696	6,700729
2,534942	2,948057	40,44878
0,220227	4,41369	3,165133
0,163569	3,659304	0,647745
0,120004	23,49939	2,216094

3. Прологарифмуємо квадрати залишків та пояснювальні змінні і подамо їх у табл 7.10.

Таблиця 7.10

Побудуємо три економетричні моделі такого виду: ; де.

1) ;

2) ;

3) .

4. Розрахуємо t-критерії для перевірки статистичної значущості кожної з оцінок параметрів цих моделей:

а) для першої моделі:

б) для другої моделі:

в) для третьої моделі:

5. Порівнюючи кожний із фактичних t-критеріїв із табличним, робимо висновки, що гетероскедастичність в досліджуваній статистичній інформації може існувати за рахунок кожного з чинників, бо .

= 2,10т для і ступенів свободи

= 1,77 для і ступенів свободи

Зауважимо, що висновки про наявність гетероскедастичності на основі декількох тестів не завжди збігаються. Це пов’язано з тим, що кожний із них побудований за певних вихідних припущень, тобто має свої переваги та недоліки. На наш погляд, тест Глейзера є найбільш простий і одночасно найбільш точний. Хоч і в даному випадку може бути присутня помилка специфікації рівняння регресії залишків від пояснювальної змінної.