Тема14. Приложение определённого интеграла

10. Площадь плоской фигуры

Пусть криволинейная трапеция задана так: с непрерывной функцией. Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

Пусть теперь криволинейная трапеция задана так: с непрерывной функцией. Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию с непрерывными функциями f(x) и g(x). Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

11. Полярные координаты

Пусть P -- точка на декартовой плоскости . Обозначим через r=r(P) расстояние от P до начала координат и назовём это число полярным радиусом. Через𝜑=𝜑(P) обозначим угол, на который надо повернуть осьдо совмещения с направлением вектора; эту величину назовём полярным углом. Полярный угол не определен для начала координат. Параназывается полярными координатами точки P. Ясно, что

,

,, еслии, если

1. Площадь криволинейного сектора

Обозначим через Kкриволинейный сектор -- фигуру на плоскости, заданную системой неравенств

(-- непрерывная функция.) Найдём площадьS(K) этого сектора. Для этого обозначим через S(τ ) площадь сектора заданного также как и в (1), но с=τ . Тогда

Отсюда

12. Объём тела

Пусть в пространстве задано тело V и ось Ox; причём тело расположено в полосе a≤ x≤ b. Предположим, что известна площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку x. Обозначим эту площадь S(x). Обозначим через V(x) объем левой части тела V, отсекаемого плоскостью. Тогда δV -- объем слоя от x доОтсюда. Значит

Следствие (принцин Кавальери)Если два тела имеют одинаковые площади сечения на одинаковой высоте, то объёмы этих тел совпадают.

В частности, если V -- тело вращения, т.е. получено вращением криволинейной трапеции , то сечениеплоскостью, проходящей через x и параллельной координатной плоскости OYZ есть круг радиуса. Следовательно, S(x)=π f(x)²в этом случае и объём тела вращения

Определенную выше криволинейную трапецию F можно вращать и относительно оси Oy. При этом надо наложить дополнительное условие 0≤ a. Обозначим через V(x) объём вращения вокруг оси Oy части этой трапеции . Тогда dV можно представлять как площадь кольца с внутренним радиусом x, толщиной dx и высотой равной f(x). Тем самымОтсюда получаем, что объём тела вращения вокруг оси Oy равен

Примеры 1.Объём шара радиусR. Шар представляем как тело вращения полукруга -R≤ x≤ R;вокруг оси Ox. Тогда

Пример 2. Объём "обобщенного конуса" с площадью основания S и высоты H. Пусть вершина конуса имеет координату 0, а основание имеет координату H. Обозначим площадь сечения плоскостьючерез. Тогда, откуда. Следовательно,

3. Объём обобщённого цилиндра с площадью основания S и высоты H. В обозначениях предыдущего примера имеем S(x)=S. Отсюда

13. Длина дуги

Кривой γ в пространстве называется отображение

. Здесь t называется параметром. Точканазывается началом кривой γ , а точканазывается концом. Если P=Q, то кривая γ называется замкнутой. Кривая γ называется непрерывной, если функциинепрерывны. Кривая называется гладкой, если существуют непрерывные производные, причём они не равны 0 одновременно. Кривая γ называется кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число гладких кусков.

Примеры. 1. Отрезок прямой

2. Окружность . Считая а), б), в)получим разные кривые.

3. Винтовая линия радиуса R и с шагом H

4. Цепная линия - график функции .

5. Периметр квадрата - пример кусочно гладкой, но не гладкой кривой

Длина кривой.Пусть-- точки пространства. Тогда кривую

назовём ломаной, а число назовём длиной этой ломаной. Пусть (1) -- произвольная кривая, и-- разбиение. Обозначим. Тогда ломануюназовём вписанной в. Длиной кривойназывается предел длин вписанных ломаных, если максимум длин звеньев стремиться к 0.

Теорема. Пусть-- кусочно-гладкая кривая. Тогда

Доказательство. Обозначим через -- длину кривой (1) с отрезком изменения параметра отдо τ. Тогда

Отсюда следует результат.

Следствие.Если-- дифференцируемая функция с кусочно непрерывной производной на отрезке, то длина дуги графика этой функции на данном отрезке будет равна

Примеры. 1. Длина отрезкаPQравна

2. Длина окружности

3. Длина одного витка винтовой линии

4. Длина цепной линии