Раздел II

Методы анализа и моделирования свойств функциональных элементов и динамических систем.

Динамические свойства функциональных элементов могут быть описаны:

• системами дифференциальных и алгебраических уравнений;

• переходными и импульсными характеристиками элемента;

• передаточными функциями линейных стационарных элементов;

• комплексными частотными характеристиками;

• в пространстве состояния.

Это означает, что динамические свойства можно представить во временной области и в частотной области.

Динамическое звено.

Динамическим звеномбудем называть обобщенный функциональный элемент, имеющий один скалярный вход и один скалярный выход.

Представление функциональной схемы САУ в виде схемы, содержащей такие динамические звенья, называется структурным моделированием динамической системы.

Если динамическое звено описано линейным дифференциальным или алгебраическим уравнением, то такое звено называют линейным, и динамические свойства этого звена могут быть описаны передаточными функциями, а также временными и частотными характеристиками.

Связь между дифференциальным уравнением линейного динамического звена и его передаточной функцией, а также комплексной частотной характеристикой.

Пусть линейное стационарное динамическое звено описывается дифференциальным уравнением вида

(1)

Тогда передаточная функция этого звена может быть представлена следующей дробью:

.

Передаточная функция, соответствующая линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами является дробно-рациональной функцией комплексной частоты.

У реальных стационарных динамических звеньев всегда n>=m, а чаще всегоn>m.

Если в передаточной функции комплексную частоту sзаменить наjω, гдеω– циклическая частота синусоидального колебания, то получим выражение для комплексной частотной характеристики звенаH(jω).

Комплексной частотной характеристикой (КЧХ)называется частотная зависимость комплексного коэффициента передачи сигнала со входа на выход.

Иначе КЧХ называется амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ).

Модуль комплексной частотной характеристики H(ω) = |H(jω)| называетсяамплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Аргумент КЧХ называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Если частоты, а также модули коэффициентов передачи сигналов отобразить в логарифмическом масштабе, то АЧХ будет называться логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Если частоты отобразить в логарифмическом масштабе, а разности фаз выходного и входного сигнала отобразить в линейном масштабе, то получится логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ).

При графическом построении логарифмических частотных характеристик отношения частот и отношения коэффициентов передачи могут выражаться в специальных логарифмических единицах:

для частот – декады, октавы; для коэффициентов передачи – децибелы, неперы.

Декадойназывается непрерывный частотный диапазон, верхняя граничная частота которого больше нижней в 10 раз.

Октавойназывается непрерывный частотный диапазон, верхняя граничная частота которого в 2 раза больше нижней.

Говорят, что коэффициент передачи Н₂на частоте₂на 20 дБ больше, чем коэффициент передачи Н₁на частоте₁, если=10.

Говорят, что коэффициент передачи сигнала Н₂на частоте₂на 1 Нп больше, чем коэффициент передачи Н₁на частоте₁, если=е (основание натурального логарифма).

Импульсные и переходные характеристики линейных динамических звеньев.

Единичной функцией называется функция вида:

,

иначе её называют функцией единичного скачка.

Функция Хевисайда (Heaviside) => 1(t).

Дельта-функцией называется функция вида:

.

Дельта-функция Дирака (Dirac)

.

-функция Дирака – предельный случай прямоугольного импульса, амплитуда которого является величиной, обратной длительности, причем длительность стремится к нулю.

Реакция динамического звена на входное воздействие, представляющее собой единичную функцию, называется переходной характеристикой динамического звена.

Реакция динамического звена на входное воздействие, представляющее собой -функцию, называется импульсной характеристикой звена.

-функция является производной по времени от единичной функции.

Импульсная характеристика звена является производной по времени от переходной характеристики звена.

,

где - импульсная характеристика,

- переходная характеристика.

Импульсная характеристика звена равна обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции:

Сигнальные графы и структурные схемы динамических систем

Система линейных уравнений (алгебраических или дифференциальных), описывающая процессы в динамической системе может быть наглядно представлена в виде сигнального графа.

Сигнальным графом называется направленный граф, находящийся в однозначном соответствии с системой линейных уравнений (в некоторых случаях – нелинейных уравнений).

Пусть дана система n-линейных уравнений:

Введём обозначения:

С учетом введённых обозначений систему линейных уравнений можно представить в виде:

(1)

Уравнения (1) называются уравнениями в форме причина-следствие, так как в них каждая зависимая переменная _i выражена в виде функции всех зависимых переменных;

_i – зависимые переменные – параметры состояния динамической системы (некоторые могут быть выходами);

J_i – независимые переменные – входы динамической системы.

Каждой переменной (сигналу) в системе уравнений ставится в соответствие вершина (узел) графа.

Если коэффициент У_ij  0, то вершины _i и _j соединяют ветвью, направленной к вершине _i (первый индекс – приёмник, второй – источник). Коэффициент У_ij называют передачей этой ветви.

Узлы _i и J_i соединяют ветвью, направленной к вершине _i и имеющей единичную передачу.

Пусть число зависимых переменных 3 и все коэффициенты У_ij  0:

Ветви, которые начинаются и заканчиваются в одном и том же узле, называются петлями.

Узел сигнального графа, к которому присоединены только исходящие ветви, называется истоком.

Узел сигнального графа, к которому присоединены только входящие ветви, называется стоком.

Узлы, к которым присоединены входящие и выходящие ветви, называются промежуточными.

Любой промежуточный узел можно преобразовать в сток путем добавления ветви с единичной передачей.

Истокам сигнального графа соответствуют входы динамической системы.

Стокам сигнального графа соответствуют выходы динамической системы.

Промежуточным узлам соответствуют параметры состояния системы.

Анализ системы с помощью сигнального графа сводится к вычислению передач от истоков к стокам.

Передачей сигнального графа от истока к стоку называется отношение сигнала в стоке к сигналу в истоке при условии, что во всех остальных истоках сигналы равны нулю.

Передачи от истоков к стокам могут быть рассчитаны путем исключения промежуточных узлов. Исключение узла соответствует исключению зависимой переменной в системе уравнений.

Сигнальному графу можно поставить в однозначное соответствие структурную схему динамической системы.

Пусть имеется два узла, соединённых ветвью:

На структурной схеме данному фрагменту графа соответствует следующее:

Узлу сигнального графа (сигналу) соответствует стрелка на структурной схеме.

Ветви сигнального графа (передаче) соответствует блок структурной схемы.

Каждую характеристику передачи записывают внутри прямоугольника.

Формула Мэзона.

Передача сигнального графа может быть непосредственно определена с помощью топологической формулы, которую называют формулой Мэзона.

Для этого вводятся следующие понятия.

Путь сигнального графа (направленный путь) – непрерывная последовательность ветвей графа между двумя различными узлами при условии, что начальный узел каждой ветви, кроме первой, совпадает с конечным узлом предыдущей.

Каждый узел и ветвь в этой последовательности встречаются только один раз. Начало первой ветви считают начальным узлом пути, а конец последней ветви – конечным узлом пути.

Прямой путь (путь передачи) – путь сигнального графа, начинающийся в истоке и заканчивающийся в стоке.

Передача прямого пути П’_k – это произведения передач этого пути.

Контур – замкнутый путь сигнального графа, у которого начальный и конечный узлы совпадают.

Передача контура L_k – произведение передач ветвей этого контура.

Определитель сигнального графа () – определитель системы уравнений, отображаемых графом.

Минор прямого пути (’_k) – определитель графа, получаемого из исходного графа, при исключении ветвей прямого пути и ветвей, имеющих с ним общие узлы. Иначе говоря, минор прямого пути – это определитель той части графа, которая не соприкасается с прямым путём.

В связи с введенными понятиями топологическая формула для передачи сигнального графа имеет вид:

(2)

Здесь суммирование проводят по всем прямым путям.

Определитель сигнального графа можно вычислить по формуле:

(3)

–сумма передач всех контуров сигнального графа.

–сумма произведений передач всех возможных комбинаций из r некасающихся контуров.

Миноры ’_k вычисляются по формуле (3).

Методы построения сигнальных графов электрических цепей

Наиболее подробно мы рассмотрим построение графа уравнений Кирхгофа электрической цепи.

Сигнальный граф, соответствующий уравнениям Кирхгофа, строится следующим образом:

• выбирается дерево схемы;

• после этого напряжения ветвей связи выражают через напряжения ветвей дерева по второму закону Кирхгофа;

• токи ветвей дерева выражают через токи ветвей связи по первому закону Кирхгофа;

• напряжения ветвей дерева выражают через соответствующие токи по закону Ома;

• токи ветвей связи выражают через соответствующие напряжения по закону Ома.

В результате получится 2в – уравнений, содержащих 2в – неизвестных переменных. Записаны эти уравнения в форме причина-следствие.

Полученной системе уравнений соответствует сигнальный граф, содержащий 2в промежуточных узлов.

Число истоков в графе равно числу источников в анализируемой цепи.

Пусть имеется схема электрической цепи.

Существуют аналогичные способы построения сигнальных графов узловых уравнений, уравнений с напряжениями ветвей дерева, контурных уравнений.

В последних трех способах есть алгоритмы построения графов с петлями и без петель.

Описание динамической системы в пространстве состояний

Одним из способов описания динамических свойств системы является описание в пространстве состояний.

Полная система дифференциальных и алгебраических уравнений динамической системы преобразуется к системе уравнений первого порядка.

Если динамическая система линейная стационарная с сосредоточенными параметрами, то уравнения в пространстве состояний имеют вид:

• [x(t)] – матрица-столбец переменных состояния, размерность – (n х 1), где n – количество переменных состояния;

• [y(t)] – матрица - столбец выходных переменных динамической системы, размерность – (р х 1);

• [u(t)] – матрица – столбец входных переменных динамической системы, размерность – (r х 1), где r – количество входов;

• [A] – матрица коэффициентов динамической системы, [n x n];

• [B] – матрица входов, [n x r];

• [С] – матрица выходов, [p x n];

• [D] – матрица обходов, [p x r].

Моделирование динамических систем позволяет анализировать управляемость и наблюдаемость динамической системы.

Система называется вполне управляемой, если выбором управляющих воздействий [u(t)] на интервале времени [t₀, t₁] можно перевести систему из любого начального состояния [x(t₀)] в произвольное заранее заданное конечное состояние [x(t₁)].