Устойчивость СЭ. Вопросы и задачи к экзамену / ТАУ_РГР_Пример_Задание_Варианты

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

Кафедра «Электротехника и электроэнергетика»

Расчётно-графическая работа

По дисциплине «Устойчивость систем электроснабжения»

Выполнил: Ст. гр. ЭЛС–103 Минимуллин М.Ю.

Проверил: доцент, к.т.н. Шмелёв В.Е.

Владимир – 2006

Вариант Z.

Задание.

Дана электронная схема, изображённая на рис. 1 и состоящая из двух операционных усилителей и однофазного трансформатора. Трансформатор представлен в виде схемы замещения, учитывающей основные и паразитные параметры.

Определить устойчивость электронной схемы тремя способами:

1. Путём непосредственного определения полюсов передаточной функции замкнутой системы;

2. По критерию Рауса;

3. По критерию Найквиста.

Рис. 1. Функциональная схема электронной динамической системы

Параметры схемы для данного варианта имеют следующие значения:

R₁ = 2 кОм;

R₂ = 10 кОм;

R₃ = 10 Ом;

R₄ = 20 Ом;

R₆ = 2 кОм;

C₂ = 1 нФ;

C₃ = 400 пФ;

C₄ = 50 пФ;

C₆ = 6 нФ;

Коэффициент электромагнитной связи обмоток трансформатора k_эм = 0.99;

Индуктивность первичной обмотки L₁ = 1 Гн = 1000 мГн; коэффициент трансформации k_T = 1.

В расчётах для удобства сопротивления будем записывать в килоомах, индуктивности – в миллигенри, ёмкости – в нанофарадах, тогда время будет измеряться в микросекундах, частота – в мегагерцах, циклическая частота – в рад/мкс, комплексная частота – в мкс^-1.

Рассчитаем индуктивность вторичной обмотки: L₂ = L₁/k_T² = 1000 мГн.

Рассчитаем взаимную индуктивность обмоток трансформатора:

= 0.99 Гн = 990 мГн.

В соответствии с заданием способ намотки обмоток трансформатора таков, что ёмкость вторичной обмотки связана с ёмкостью первичной обмотки соотношением C₅ = C₃/k_T². Рассчитываем C₅ = 400 пФ = 0.4 нФ.

Способ намотки обмоток трансформатора таков, что сопротивление вторичной обмотки связано с сопротивлением первичной обмотки соотношением R₅ = R₄/k_T. Рассчитываем R₅ = 20 Ом = 0.02 кОм.

Функциональной электрической схеме, изображённой на рис. 1, соответствует структурная схема динамической системы, изображённая на рис. 2. Здесь обозначено: H₁(s) – передаточная функция усилительного каскада (DA1, R1, R2, C2) по неинвертирующему входу; H₂(s) – передаточная функция того же каскада по инвертирующему входу, она выполняет роль передаточной функции отрицательной обратной связи; H₃(s) – передаточная функция трансформатора; H₄(s) – передаточная функция усилительного каскада (DA2, R6, C6).

Рис. 2. Структурная схема анализируемой динамической системы

Для анализа устойчивости работы динамической системы нужно определить все названные передаточные функции.

;

;

.

Чтобы рассчитать передаточную функцию H₃(s), нужно выполнить анализ схемы замещения трансформатора операторным методом. Воспользуемся системой MATLAB и вычислительным сценарием cepye, подключив к нему Symbolic Mach Toolbox. В командном окне MATLAB выполним следующую последовательность операторов:

syms t real

syms s

TM=[1 1 0 0 0 0 0 0; 0 -1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 -1 1 1 0 0; 0 0 0 0 0 -1 1 1];

PV=diag([vpa(0.01) (vpa(0.4)*s)^-1 vpa(0.02) vpa(1000)*s (vpa(0.05)*s)^-1 vpa(1000)*s vpa(0.02) (vpa(0.5)+vpa(0.4)*s)^-1]);

PV(4,6)=-vpa(990)*s;

PV(6,4)=-vpa(990)*s;

cepye

Переменная TM соответствует матрице главных контуров схемы замещения трансформатора, равной

После выполнения вычислительного сценария cepye в командном окне выполним оператор

H3=simple(KC(8,1))

H3 =

31250000.*(199.*s^2-198.)*s/(56373767745.*s^3+348748296.*s^4+398000.*s^5+6406252005.*s+62375685629.*s^2+189375.)

Переменная H3 будет содержать символьное выражение искомой передаточной функции H₃(s). Введём в ЭВМ передаточные функции усилительных каскадов:

H1=(vpa(6)+vpa(10)*s)/(vpa(1)+vpa(10)*s);

H2=vpa(5)/(vpa(1)+vpa(10)*s);

H4=-vpa(1)/s/vpa(12);

Посчитаем передаточную функцию замкнутой системы без учёта H₁(s):

>> W=simple(H3*H4/(1+H2*H3*H4))

W =

-2604166.6666666666666666666666667*(1.+10.*s)*(199.*s^2-198.)/(680130624035.*s^3+564086425746.*s^4+3487880960.*s^5+6408145755.*s+123847059845.66666666666666666667*s^2+2578314374.9999999999999999999999+3980000.*s^6)

.

Рассчитаем импульсную характеристику для этой передаточной функции:

w=real(ilaplace(W))

w =

-.43644246280520866697896787777140e-2*exp(-662.95510081903218449098278640063*t)+.13685006540699791950796492385420e-1*exp(-212.18345028232173487143389771110*t)-.29808952338744951105746402833761e-4*exp(-.99888384401109100820403832057880*t)-.19198587313246022202881937604078e-1*exp(-.25759282749904850272636346962278*t)+.99078143529370618729808695470820e-2*exp(.21513886432029436673542950964382e-1*t)*cos(.13204284931066030164421911206744*t)+.38820625255826456938278207847955e-1*exp(.21513886432029436673542950964382e-1*t)*sin(.13204284931066030164421911206744*t)

Расчёт импульсной характеристики показал, что передаточная функция W(s) имеет шесть полюсов:

s₁ = -662.955 мкс^-1; s₂ = -212.183 мкс^-1; s₃ = -.9988838 мкс^-1; s₄ = -.257593 мкс^-1; s₅ = (.021513886+.132042849i) мкс^-1; s₆ = (.021513886-.132042849i) мкс^-1.

Два из этих полюсов имеют положительную действительную часть, следовательно, анализируемая динамическая система неустойчива. Передаточная функция H₁(s) не охвачена обратной связью и не содержит правых и мнимых полюсов, значит, она не влияет на устойчивость динамической системы. Поэтому при анализе устойчивости передаточная функция H₁(s) не учитывалась.

Для подтверждения сказанного покажем последовательность операторов и сообщений в командном окне MATLAB при построении графика импульсной характеристики замкнутой системы с учётом передаточной функции H₁(s).

>> W1=simple(H1*W)

W1 =

-2604166.6666666666666666666666667*(6.+10.*s)*(199.*s^2-198.)/(680130624035.*s^3+564086425746.*s^4+3487880960.*s^5+6408145755.*s+123847059845.66666666666666666667*s^2+2578314374.9999999999999999999999+3980000.*s^6)

>> w1=real(ilaplace(W1))

w1 =

-.43611324872639571463485210187559e-2*exp(-662.95510081903218449098278640063*t)+.13652743281773924436179764589445e-1*exp(-212.18345028232173487143389771110*t)-.13227859833105730250130225461410e-4*exp(-.99888384401109100820403832057880*t)+.41713408549515997848037870164897e-1*exp(-.25759282749904850272636346962278*t)-.50991791484192859407618984803100e-1*exp(.21513886432029436673542950964382e-1*t)*cos(.13204284931066030164421911206744*t)+.13238157935831798177674417227137*exp(.21513886432029436673542950964382e-1*t)*sin(.13204284931066030164421911206744*t)

>> tend=3/.21513886432029436673542950964382e-1

tend =

139.44

>> ezplot(w1,[0 tend]) % Построение графика импульсной характеристики

>> grid on

График импульсной характеристики замкнутой системы показан на рис. 3. Видно, что неустойчивость проявляется в виде раскачки колебаний.

Рис. 3. Импульсная характеристика замкнутой системы

Проведём анализ устойчивости вторым способом. Составим таблицу (матрицу) Рауса для передаточной функции W(s). Для этого в командном окне MATLAB выполним следующую последовательность операторов:

cz=sym2poly(565511719046.*s^4+3496652460.*s^5+3990000.*s^6+187728163233.*s^2+683719315700.*s^3+12816291510.*s+6219128750.)

cz=cz*1E-6

cz=reshape([cz 0],2,4) % Первые две строки матрицы Рауса

cz(end+1,1:end-1)=-cz(end-1,1)/cz(end,1)*cz(end,2:end)+cz(end-1,2:end)

% Последний оператор выполняем 5 раз

% Результатом последнего будет вся матрица Рауса:

cz =

3,98 5,6409e+005 1,2385e+005 2578,3

3487,9 6,8013e+005 6408,1 0

5,6331e+005 1,2384e+005 2578,3 0

6,7936e+005 6392,2 0 0

1,1854e+005 2578,3 0 0

-8384,4 0 0 0

2578,3 0 0 0

Видно, что в первом столбце этой матрицы имеет место две перемены знака чисел. Из этого следует, что число правых полюсов передаточной функции W(s) равно двум. Это означает, что анализируемая система неустойчива. В предыдущем способе анализа также было найдено два правых комплексных полюса.

Проведём анализ устойчивости третьим способом. Рассчитаем передаточную функцию разомкнутой системы, равную произведению передаточных функций элементов контура структурной схемы с отрицательной обратной связью.

H_p(s) = H₂(s)H₃(s)H₄(s) = =.

В командном окне MATLAB выполним последовательность операторов

om=logspace(-3,1,1001);

Hr=H2*H3*H4;

Lr=20*log10(abs(subs(Hr,s, 1i*om)));

Pr=angle(subs(-Hr,s,1i*om))-pi;

subplot(2,1,1)

semilogx(om,Lr,'k-','linewidth',2)

grid on

subplot(2,1,2)

semilogx(om,Pr*180/pi,'k-','linewidth',2)

grid on

В результате в одной фигуре MATLAB будет построено два графика: ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (рис. 4). По графику определим частоту, на которой ЛФЧХ проходит через -180^О. Это примерно 10^-1.01292 рад/мкс. Модуль коэффициента передачи сигнала примерно равен на этой частоте +7.1616 дБ. Это означает, что система неустойчива. Дефицит устойчивости по амплитуде (по модулю) составляет 7.1616 дБ.

По графику определим частоту, на которой модуль коэффициента передачи сигнала равен 0 дБ. Это примерно 10^-0.841095 рад/мкс. Значение ЛФЧХ на этой частоте примерно составляет -205.0485^О. Дефицит устойчивости по фазе примерно составляет -180+205.0485 = 25.0485^О.

Вывод. Анализ устойчивости динамической системы тремя методами дал один и тот же результат: система неустойчива. Первый из этих трёх методов наиболее универсален, но обязательно требует применения вычислительной техники и современного математического ПО. Второй из этих методов не требует применения вычислительной техники и позволяет определить число правых полюсов передаточной функции замкнутой системы. Однако этот метод не позволяет анализировать динамические системы с элементами чистого запаздывания. Этого недостатка лишён третий метод анализа, который также не требует применения вычислительной техники и, кроме всего прочего, позволяет определить запас или дефицит устойчивости по амплитуде и по фазе, что бывает важно при выборе и синтезе корректирующих устройств.

Рис. 4. ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу) разомкнутой системы

Варианты расчётного задания

Параметры элементов схемы, общие для всех вариантов, перечислены ниже.

R₂ = 10 кОм;

R₃ = 10 Ом;

R₄ = 20 Ом – сопротивление первичной обмотки трансформатора;

R₆ = 2 кОм;

C₂ = 1 нФ;

C₃ = 400 пФ – ёмкость первичной обмотки трансформатора;

C₄ = 50 пФ – ёмкость связи между первичной и вторичной обмотками трансформатора;

Параметры элементов схемы, индивидуальные для каждого варианта, сведены в таблицу. k_T – коэффициент трансформации, равный отношению числа витком первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки (коэффициент понижения напряжения). k_эм – коэффициент электромагнитной связи между обмотками.

Вариант	R1, кОм	C6, нФ	kT	kэм
1	20	5	1	0.98
2	18	5	2	0.98
3	22	6	2.5	0.99
4	15	5	3	0.97
5	10	6	4	0.98
6	8	4	1.8	0.98
7	30	5	0.5	0.97
8	28	4.5	0.6	0.96
9	40	2.5	0.25	0.98
10	32	3	1/3	0.99
11	14	10	1	0.98
12	12	8	2	0.99
13	15	6	4	0.99
14	20	5	0.5	0.99
15	25	8	1	0.995
16	28	6	1.2	0.97
17	9	4	2.5	0.99
18	22	4	1.2	0.97
19	5	5	5	0.95
20	6	6	4	0.96
21	20	1	0.5	0.975
22	50	10	0.1	0.995
23	5	4	0.5	0.9
24	14	8	1	0.91
25	18	10	0.25	0.88
26	16	3	0.8	0.94
27	18	3.5	0.7	0.93
28	20	3	0.6	0.92
29	22	3.2	0.4	0.91
30	23	2.8	0.3	0.91
31	31	2.4	0.29	0.9
32	40	0.8	0.32	0.89
33	45	0.8	1	0.99
34	50	0.5	3	0.96
35	3	0.5	5	0.99
36	4	0.4	4	0.94
37	35	0.4	4.5	0.93
38	38	0.45	4.5	0.95
39	40	0.2	5.5	0.96
40	40	1.2	6	0.97
41	45	2.5	2.7	0.92
42	50	2.5	3	0.93
43	55	0.5	2	0.925
44	60	0.25	1.5	0.975
45	15	1	1	0.985