Здесь мы предполагаем, что a00, так как в противном случае полином имеет хотя бы один нулевой корень, а значит, система находится на границе устойчивости.
В начале составляется таблица (матрица) Рауса.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока первый коэффициент последней строки матрицы Рауса не станет равным коэффициенту а0 или пока вся строка не получится равной нулю. В последнем случае последнюю строку нужно игнорировать.
Вывод о количестве правых полюсов передаточной функции можно сделать из анализа первого столбца матрицы Рауса.
Критерий Рауса формируется следующим образом: число правых корней полинома равно числу перемен знака в первом столбце матрицы Рауса.
Частные случаи применения критерия Рауса.
Из выражений для определения элемента матрицы Рауса видно, что таблица не может быть заполнена, если первый элемент в строке равен нулю. В этом случае вычисление элементов следующей строки связано с делением на нуль. Учитывая возможность данной ситуации в практическом применении критерия, следует выделить три случая.
Случай первый. Ни один из элементов первого столбца матрицы Рауса неравен нулю. Это – нормальный случай вычисления. Здесь возможно прямое применение формул для вычисления элементов матрицы Рауса.
Случай второй. Первый элемент строки матрицы Рауса равен нулю и хотя бы один другой элемент этой строки неравен нулю. В этом случае первый элемент строки заменяется на ненулевую бесконечно малую величину, знак которой не имеет существенного значения. Вычисления продолжаются, но некоторые элементы матрицы Рауса теперь будут зависеть от этой бесконечно малой величины . После окончания вычислений определим пределы выражений, зависящих от при 0. После этого можно определять число перемен знака в первом столбце матрицы и делать вывод об устойчивости.
Пример: пусть в знаменателе передаточной функции замкнутой системы стоит полином:
Q(s) = s5 + 2*s4 + 2*s3 + 4*s2 + 11*s + 10.
Матрица Рауса.
|
1 |
2 |
11 |
|
2 |
4 |
10 |
|
|
6 |
0 |
|
- |
10 |
0 |
|
6 |
0 |
|
|
10 |
0 |
|
Две перемены знака, следовательно, система неустойчивая.
при ε 0
Способ третий. Все элементы строки матрицы Рауса равны нулю. В этом случае замена нуля бесконечно малой величиной не позволяет проводить дальнейшие вычисления.
Пример № 1 Q(s) = s2 + 1.
,
1 1
0 0
Пример № 2 Q(s) = s3 + s2 + 2*s + 2.
s3 1 2
s2 1 2
s 0 0
Нули заменяются коэффициентами, которые получаются в результате дифференцирования дополнительного полинома, относящегося к предыдущей строке по s.
Дополнительный полином составляется для четных степеней s, если предыдущая строка матрицы относится к четной степени.
1 2
1 2
Нет перемены знака, следовательно, система устойчивая.
Критерий Гурвица.
Этот критерий основан на составлении матрицы Гурвица.
Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
(1)
Тогда, матрица Гурвица имеет вид:
Определитель матрицы Гурвица называется главным определителем Гурвица.
Его миноры называются определителями Гурвица низшего периода.
Миноры:
Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все определители Гурвица были положительными.
система находится на границе устойчивости, если все определители Гурвица низшего порядка положительны, а главный определитель Гурвица равен нулю (при а0>0).
Необходимым и достаточным условием устойчивости системы, характеристическое уравнение которой, а значит, и знаменатель передаточной функции замкнутой системы, имеет первую и вторую степень, является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Критерий Льенара – Шипара.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
(1)
Здесь опять составляется матрица Гурвица.
При положительных коэффициентах знаменателя передаточной функции (1) необходимое и достаточное условие устойчивости сводится к тому, чтобы среди определителей Гурвица ∆К, где к=1..n, были положительными все определители с четными индексами либо все определители Гурвица с нечетными индексами.
Критерий устойчивости по виду КЧХ разомкнутой системы.
(критерий Найквиста).
Пусть имеется динамическая система с одной обратной связью6
Преобразуем эту систему к виду, когда отрицательная обратная связь единичная:
Рассчитаем передаточную функцию разомкнутой системы:
Если рассматривать ФЧХ разомкнутой системы, то по ней видно, что выходной сигнал разомкнутой системы на некоторых частотах по фазе опережает входной сигнал, а на некоторых частотах отстает от входного. Если отставание по фазе составляет 180о (П радиан), то фактически отрицательная обратная связь становится положительной. Коэффициент передачи сигнала при единичной положительной обратной связи можно вычислить по формуле:
Система с положительной обратной связью является устойчивой только в том случае, когда коэффициент передачи разомкнутой системы находится в пределах
КР
[0;1].
Из этого следует, что динамическая система с отрицательной обратной связью может быть устойчива только в том случае, когда на частотах коэффициент передачи разомкнутой системы имеет аргумент 180о. Последний по модулю меньше единицы. Годограф КЧХ разомкнутой системы, порядок которой выше второго, обычно имеет вид, как показано на рисунке.
Н(К) > 1, то система неустойчивая;
Н(К) < 1, то система устойчивая;
Н(К) = 1, то система находится на границе устойчивости.
Годографом КЧХ динамической системы или звена называется геометрическое место на комплексной плоскости точек этой КЧХ при изменении частоты от нуля до бесконечности.
(1) ∆Ну=20lg(Н(К)) – дефицит устойчивости по амплитуде или по модулю;
(2) -∆Ну=-20lg(Н(К)) – запас устойчивости по амплитуде или по модулю.
Запас устойчивости по амплитуде – во сколько раз можно увеличить статический коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая система не потеряла устойчивость (оказалась на границе устойчивости).
В формулах (1) и (2) «20lg» означает, что запас (дефицит) устойчивости по амплитуде измеряется в дБ.
Показатели качества регулирования.
Самыми главными показателями регулирования являются точность и быстродействие.
Эти показатели рассматриваются в установившихся и переходных режимах.
Рассмотрим линейную стационарную динамическую систему с единичной отрицательной обратной связью в статическом режиме. Предполагается, что в этом режиме все сигналы имеют постоянные значения.
Изобразим упрощенную структурную схему такой системы для установившегося режима.
Статический режим – сигналы постоянные.
ε – ошибка регулирования.
Передача от входа сигнала к ошибке регулирования равна:
Из этой формулы видно, что ошибка регулирования в статическом режиме стремится к 0 при стремлении статического коэффициента усиления разомкнутой системы к бесконечности.
Для повышения точности регулирования в статическом режиме целесообразно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы. Ранее было показано, что увеличение коэффициента усиления системы отрицательно влияет на устойчивость системы.
Коэффициент Ку называется коэффициентом ошибки регулирования по положению.
Изменение во времени управляющего воздействия (входа системы) приводит к появлению дополнительной ошибки регулирования. Для учета этого эффекта рассчитывают также коэффициенты ошибок по скорости, ускорению, а также по производным высших порядков..
Динамические системы, у которых коэффициент ошибки по положению равен нулю называются астатическими.
Фактор, вызывающий нулевое значение этого коэффициента называется астатизмом.