4. Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которойN(x,y)≠ 0 как. Наоборот, любое дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в дифференциалах.

Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области существует функция , называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части уравнения, т.е.

Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношениемu(x,y)=C. Докажем это. Пусть-- неявно заданная уравнениемфункция. Тогда. Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим:, следовательно.

С другой стороны, пусть -- начальные условия. Тогда возьмем константуи определим функциюкак неявно заданную уравнением. Получим решение задачи Коши с заданными начальными условиями. Доказано, что– общее решение.

Теорема. Пусть непрерывны в некоторой односвязной областиD. Тогда (1) будет уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области выполнено условие

Доказательство части "и только том случае" следует из теоремы о смешанных производных:

Пусть верно (2). Ищем функцию из условия

.

Выберем начальную точку . Из первого уравнения системы (3), интегрируя на отрезкенаходим:. Тогда

Следовательно, второе уравнение системы (3) получает вид , откуда находим. Окончательно получаем формулу вычисления потенциала

Пример. Найдем общий интеграл уравненияПроверим, что это уравнение в полных дифференциалах:

Возьмём . Тогда

Откуда -- общее решение в неявном виде.

13