2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

   1. Уравнение размножения и гибели.

Биологический закон: при благоприятных условиях скорость размножения бактерий (или других микроорганизмов) пропорциональна их количеству N(t). Это приводит к дифференциальному уравнению:

Легко проверить, что при любом значении постоянной C функция будет решением этого уравнения. Подставляя в это соотношение, находим, что

Предположим, что в начальный момент времени (минут) имелосьбактерий. Допустим также, что из экспериментов мы нашли, что k=0,1. Сколько будет бактерий через час?

Приведем ещё три примера, приводящие к дифференциальному уравнению такого же типа:

а) Пусть M(t) -- масса радиоактивного вещества в момент времени t. Из физики известно, что скорость его убывания пропорциональна наличному количеству. Получаем: . Следовательно,Периодом полураспада называют времяпо происшествию которого масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Найдем период полураспада из соотношенияПолучим

б) Скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Считая, что температура окружающей среды постоянна и равна , а температура тела в момент t равна T(t), получаем дифф. уравнение

где γ >0 -- коэффициент пропорциональности. Заменяя сводим последнее дифференциальное уравнение к видурешение которого мы уже знаем:. Отсюда получаем зависимость температуры от времени

Графики функций (2) при различных значениях называются интегральными кривыми.

Вид их указан на рис. 2

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением размножения и гибели. Все решения уравнения (4) исчерпываются функциями вида .

Задача.Браконьер убил кабана. Обходчик, обнаруживший труп кабана, измерил его температуру – она оказалась 31^o. Через час обходчик снова измерил температуру. Она оказалась 29^o. Предполагая, что температура воздуха не изменялась и была равной 21^o, найти за сколько времени до момента первого измерения температуры было совершено преступление.

Замечание. Температуру живого кабана принять равной 37^o.

Решение. Считаем, что скорость охлаждения тела в среде пропорциональна разности между температурой тела и температурой среды. Обозначая через - температуру кабана в момент времени t, получаем дифференциальное уравнение(*), где a - температура воздуха. Время измеряется в часах и начальные условия таковы: x(0)=31; x(1)=29. Как мы знаем, общее решение уравнения (*) таково: ln(x-a)=-kt+C. Подставляя значения t=0,1 получаем систему для определения C и k:

Отсюда . Подставляя сюда x=37, находим время t≈ -2,10630. Ответ: Преступление совершено за 2 часа 6 мин до момента первого обхода

2. Уравнение движения точки на оси

Пусть материальная точка массой m движется вдоль оси Ox, занимая в момент времени t, положение , имея мгновенную скоростьи ускорение. Согласно второму закону Ньютона произведениеравно сумме действующих сил на точку. Это представляет из себя дифференциальное уравнение второго порядка:

Считаем, что нам известны положение и скоростьв начальный момент времени. Рассмотрим частные случаи.

А. Свободное движение. Это случай F=0. Тогда -- равномерное движение.

Б. Равноускоренное движение. Это случай, когда F=a -- константа. Тогда .

В. Уравнение колебаний. Пусть на точку действует только сила упругости пружины, которая по закону Гука равна , где k>0 -- коэффициент жесткости пружины. Получаем уравнение свободных колебаний

Можно проверить, что есть целое семейство решений этого уравнения. Более того, если задано положение точкии скоростьв начальный момент времени, то положение ее в любой момент времени строго определено. Это значит, что найдутся единственные константытакие, что

Действительно, определитель системы линейных уравнений (7) есть

Определитель не равен нулю, следовательно, по правилу Крамара система (7) имеет единственное решение.

Если на материальную точку кроме упругой силы действует и сила сопротивления вязкой среды, , причем она пропорциональна скорости и направлена в противоположную к скорости сторону:(λ>0 – коэффициент вязкости), то получаем уравнение колебаний с учетом сопротивления:

Если на материальную точку кроме силы упругости и силы сопротивления действует еще и вынуждающая сила , зависящая от времени, то получаем уравнение вынужденных колебаний :

Уравнением колебаний мы займемся в следующем разделе.