6. Следствия из аксиом порядка

Имеют место соотношения

A.Если(), то

Б.Если(), то

Наибольшее из чисел будем обозначать, а наименьшее --.

Для строгих неравенств выполняются такие правила

В.Еслито

Г.Если, а, то. Если же, то.

Д. Еслиили, то.

Е.(транзитивность отношения <) Еслии, то

7. Следствия из аксиомы о верхней грани

Принцип Архимеда.А.Для любого вещественного числа r и сколь угодно малого𝜺>0 найдется натуральное число N такое, что.

Б.Пусть. Для любого вещественного числа b найдется натуральноетакое, что.

Обоснуем этот принцип. Если N𝜺<r для всех натуральных N, то определено число. Так как R -- точная верхняя грань, тодля какого-либо. Но тогдав противоречии с тем, что R -- верхняя грань. Противоречие показывает, что множествонеограничено сверху, а значитпревзойдет любое наперед заданное число.

Второе утверждение доказывается по такой же схеме.□

Следствие. Для любого𝜺>0 найдется натуральное число N для которого 1/N<𝜺. Аналогично, если 0≤ d<1 и𝜺>0, то найдется N для которого.

Заметим, что «на вид» рациональная прямая, т.е. совокупность всех рациональных точек, выглядит как сплошная линия. Объясняется это плотностью множества рациональных точек на прямой.

Теорема (плотность в ).Каждый непустой интервалсодержит рациональную точку.

Доказательство. Считаем . Найдемтакое, что 1/n<b-a (следствие принципа Архимеда).Cнова применяя принцип Архимеда, получаем целое число m такое, что m/n>a. Пусть m наименьшее с таким свойством. Если бы m/n≥ b, то-- противоречие с минимальностью m. Противоречие показывает, что на самом делеm/n<b, тем самым.□

Следствие.Каждый непустой интервал содержит бесконечно много рациональных точек.

Принцип вложенных отрезков Кантора. Для всякой системы вложенных друг в друга отрезков существует общая точка.

Доказательство. Пусть -- система вложенных отрезков. Тогда множествоограничено сверху любым. Отсюда вытекает, что-- общая точка отрезков.

5. Степени и корни

Для любого числа и любого положительного целого числаопределимстепень

Распространим степени на нулевой и отрицательные показатели:

(предполагаем здесь . Имеют место формулы:

Для любого найдется единственное неотрицательное действительное число, квадрат которого равен. Его обозначаюти называютквадратным корнем из . Квадратный корень равенили.

Например, . Заметим, чтоне смотря на то, что. Квадратные корни из отрицательных чисел будут числами новой природы (комплексные числа). Более общо, имеет место

Теорема.Для любогонайдется единственное неотрицательное действительное число, n-ая степень которого равен. А именно

Его обозначают и называюткорнем n-ой степени из .

Доказательство для n=2. Множествоограничено сверху и не пусто. Следовательно, существует точная верхняя грань. Если бы, тодля достаточно малого положительного(можно взять, тогда). Это, однако, противоречило бы тому, что– точная верхняя грань. Аналогично, неравенстване может быть. Остается только один возможный случай – равенство.

Выполняются следующие правила обращения с корнями:

После этого можно определить для любого рационального числа си любогостепень с рациональным показателем:

Для такой степени выполняются по-прежнему правила (4).

Если целое число нечетное, то можно определить квадратный корень n-ой степени из отрицательного числакак такое единиственное (отрицательное) число,n-ая степень которого равна. Например,,

6. Модуль

Число

называется абсолютной величиной или модулем числа .

Свойства модуля

М1.или более общо

М2. (неравенство треугольника)или более общо

М3. (непрерывность модуля)

M4.

Знак числаопределяется как функцияравная 1, еслии равная, если. Имеем равенство

для любых двух ненулевых чисел.