Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Шамышева2 / ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (Конспект лекций)

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
5.33 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi

x )( yi

y)

 

 

(xi x )( yi

y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rx, y

 

Cov( X ,Y ) n 1 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

Sy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (8.1)

 

S

 

S

 

 

 

 

 

Sx

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi x )

2

 

( yi y)

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

где

S 2

 

 

1

 

 

 

(x x )2

,

S 2

 

1

 

 

( y y)2 - оценки дисперсий величин

 

 

 

 

 

n

1

n 1

 

x

 

 

i

 

 

y

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X и Y .

Проверка значимости парного коэффициента корреляции

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t

критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия

еалии яяется по формуле:

 

 

 

r2

 

 

tнабл

 

 

y,x

(n 2)

 

 

2

(8.2)

 

1

ry,x

 

 

Вычисленное по этой формуле значение

tнабл сравнивается с крити-

ческим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t

Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

Если tнабл > tкр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар переменных из их множества. Для множест-

ва m переменных n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции R.

r

r

...

r

 

 

11

12

 

1m

 

 

R

r22

...

r2m

 

(8.3)

 

...

 

..... .....

......

 

 

 

 

 

 

 

..... .....

...

rmm

 

101

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимо-

сти между величинами. В связи с этим, в многомерном корреляционном еаллизе рассматривается две задачи:

1.Определение тесноты связи одной случайной величины с совокуп-

ностью остальных (m – 1) величин, включенных в анализ;

2.Определение тесноты связи между величинами при фиксировании или исключении влияния остальных k величин, при k<(m-2).

Эти задачи решаются с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции, соответственно.

Множественный коэффициент корреляции

Решение первой задачи осуществляется с помощью выборочного ко-

эффициента множественной корреляции по формуле

R j,1,2, j 1, j 1,...m

 

1

 

R

 

,

(8.4)

 

 

 

R jj

 

 

 

 

 

где R - определитель корреляционной матрицы R (8.3);

R jj - алгебраическое дополнение элемента rjj той же матрицы R.

Квадрат коэффициента множественной корреляции R2 j,1,2, j 1, j 1,...,m

принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации, который показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Хj объясняет вариация остальных случайных величин X1 , X2 , . . . , Xm.

Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только

102

увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные и не увеличится, если из имеющихся переменных производить исключение.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется путем сравнения расчетного значения критерия Фишера:

Fрасч

 

 

R2 / n m

,

(8.5)

 

R2

 

/

 

 

 

 

1

 

 

m 1

 

 

с табличным Fтабл. Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости и степенями свободы k1 m 1 и k2 n m . Коэф-

фициент R2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Fpаас Fтабл .

Частный коэффициент корреляции

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с дру-

гом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследо-

вания частной корреляции между величинами при исключении влияния од-

ной или нескольких других случайных величин.

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по фор-

муле:

rjk.1,2, ,m

 

 

R jk

 

 

 

 

,

 

 

 

R jj Rkk

где R jk , R jj , Rkk – алгебраические дополнения к соответствующим элемен-

там матрицы (8.3).

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1.

Пример 8.1. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции.

103

В табл. 8.1. приведена информация об объёмах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

Требуется:

1.Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объёмы продаж» и «индекс потребительских расходов».

2.Определить степень влияния индекса потребительских рас-

ходов на объёмы продаж (вычислить коэффициент парной корреля-

ции).

3.Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.

4.Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.

5.Найти оценку множественного коэффициента корреляции.

6.Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

Решение

1) Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями перемен-

ных X- индекс потребительских расходов и Y- объёмы продаж.

В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 8.1.

Таблица 8.1

Объем

продаж,

126

137

148

191

274

370

432

445

367

367

321

307

331

345

364

384

тыс. руб.-Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затраты

на рек-

4

4,8

3,8

8,7

8,2

9,7

14,7

18,7

19,8

10,6

8,6

6,5

12,6

6,5

5,8

5,7

ламу – Х1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индекс потреби-

 

 

101,

103,

104,

 

107,

108,

108,

109,

110,

110,

110,

111,

112,

112,

тельских

расхо-

100

98,4

107

дов, % - X2

 

 

2

5

1

 

4

5

3

2

1

7

3

8

3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

104

2) Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными x- индекс потребительских расходов и y- объёмы про-

даж приведены в таблице 8.2.

Средние значения случайных величин Х и Y, которые являются наибо-

лее простыми показателями, характеризующими последовательности

x1 , x2 ,

, x16

и y1, y2 ,

 

, y16 ,

рассчитаем по формулам, соответственно:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

x

xi

107, 2

y

yi

306,8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

Дисперсия характеризуют

степень

разброса

значений x1 , x2 , , x16

( y1, y2 ,

, y16 )

вокруг своего среднего x ( y

, соответственно)

 

 

 

 

Sx2

 

1

 

(xi x )2

 

305, 474

20,36

 

 

 

 

n

1

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sy2

 

1

 

 

( yi

y)2

158718, 438

10581,23.

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

Стандартные ошибки случайных величин Х и Y рассчитаем по форму-

лам, соответственно:

 

 

n

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

Sx

n 1 xi

x

4,51; Sy

 

n 1 yi

 

y

2

102,87

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

105

Объем продаж

500

450

400

350

300

107,2; 306,8

250

200

150

100

50

0

96

98

100

102

104

106

108

110

112

114

Индекс потребительских расходов

Рис. 8.1. Диаграмма рассеяния (корреляционное поле).

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле (8.1):

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi

x )( yi y)

 

 

 

1

5681, 99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

n 1 i 1

 

 

 

 

 

15

 

 

= 0, 816

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x. y

 

 

 

 

Sx

Sy

 

 

 

 

4, 51 102, 87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

X

 

y y

x x

 

( y y)(x x )

(x x )2

( y y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

i

i

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

126

 

 

100

 

-180,813

-7,231

 

1307,500

 

52,291

32693,160

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

137

 

 

98,4

 

-169,813

-8,831

 

1499,657

 

77,991

28836,285

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

148

 

 

101,2

 

-158,813

-6,031

 

957,838

 

36,376

25221,410

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

191

 

 

103,5

 

-115,813

-3,731

 

432,125

 

13,922

13412,535

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

274

 

 

104,1

 

-32,813

-3,131

 

102,744

 

9,805

1076,660

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

370

 

 

107

 

63,188

-0,231

 

-14,612

 

0,053

3992,660

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

432

 

 

107,4

 

125,188

0,169

 

 

21,125

 

0,028

15671,910

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

445

 

 

108,5

 

138,188

1,269

 

 

175,325

 

1,610

19095,785

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

367

 

 

108,3

 

60,188

1,069

 

 

64,325

 

1,142

3622,535

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

367

 

 

109,2

 

60,188

1,969

 

 

118,494

 

3,876

3622,535

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

321

 

 

110,1

 

14,188

2,869

 

 

40,700

 

8,230

201,285

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

307

 

 

110,7

 

0,188

3,469

 

 

0,650

 

12,032

0,035

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

106

13

331

110,3

24,188

3,069

74,225

9,417

585,035

 

 

 

 

 

 

 

 

14

345

111,8

38,188

4,569

174,469

20,873

1458,285

 

 

 

 

 

 

 

 

15

364

112,3

57,188

5,069

289,869

25,692

3270,410

 

 

 

 

 

 

 

 

16

384

112,9

77,188

5,669

437,557

32,135

5957,910

 

 

 

 

 

 

 

 

сумма

4909

1715,7

0,000

0,000

5681,994

305,474

158718,438

 

 

 

 

 

 

 

 

среднее

306,8125

107,23125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Оценим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчита-

ем значение t – статистики по формуле

 

 

r

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

tрасч

 

 

0,816

14

 

 

5, 282.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

r2

1

0,666

 

 

 

 

 

Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл (α = 0,1; k = n – 2

= 14) =1,76. Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл,

т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объёмы продаж.

4) Матрица R коэффициентов парной корреляции, вычисленных по формуле (8.1) для трех факторов будет иметь вид:

 

 

Объем

Затраты на

Индекс потреби-

 

 

еалиизации

рекламу

тельских расходов

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

Объем реализации

1

1

0,646

0,816

Затраты на рекламу

2

0,646

1

0,273

Индекс потребительских расхо-

3

0,816

0,273

1

дов

 

 

 

 

5) Вычисление множественного коэффициента корреляции y c x1 и

x2.

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

R

j,1,2,

j 1, j 1,...m

 

1

 

 

 

 

 

1

0,1304

0, 9269

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rjj

 

0, 9253

 

 

 

 

 

 

 

 

R - определитель корреляционной матрицы R равен 0,1304.

107

R11 - алгебраическое дополнение 1-го диагонального элемента r11 той же матрицы R

R ( 1)2

 

1

 

 

0, 273

0,9253

.

 

11

 

 

 

0, 273

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Вычисление коэффициентов частной корреляции.

 

 

 

 

rjk .1,2,

,m

 

Rjk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rjj Rkk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r12(3)

 

 

R12

 

 

 

0, 423

 

 

 

 

0, 706

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R11 R22

0,925 0,334

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где R12 алгебраическое дополнение элемента

r12 матрицы

R, а R22

алгебраическое дополнение 2-го диагонального элемента r22 :

 

 

 

 

 

 

 

0, 273

 

 

 

 

 

 

R ( 1)3

 

0, 646

 

0, 423

 

 

 

12

 

0,816

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R22 ( 1)4

 

 

 

0,816

 

0,334 .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,816

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты частной корреляции можно вычислить, используя коэффициенты парной корреляции:

r12(3)

 

 

r12 r13

r23

 

 

 

0, 646 0,816 0, 273

 

0, 706

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

r2 ) (1 r2 )

(1 0,8162 ) (1 0.2732 )

 

 

 

 

13

23

 

 

 

 

 

 

r13(2)

 

 

r13 r12

r23

 

 

 

0,816 0, 646 0, 273

 

0,871.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

r2 )

(1 r2 )

(1 0, 6462 ) (1 0.2732 )

 

 

 

 

12

 

23

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы

1.Типы связей между переменными.

2.Основные задачи корреляционного анализа.

3.Мера взаимосвязи между двумя переменными и ее оценка.

108

4. Коэффициент парной корреляции его свойства.

 

5. Оценка выборочного коэффициента парной

корреляции по

статистическим данным.

 

6.Проверка значимости коэффициента парной корреляции.

7.Задачи, рассматриваемые в многомерном корреляционном анализе.

8.Коэффициент множественной корреляции, оценка его значимости.

9.Коэффициент частной корреляции, его оценка по статистическим

данным.

109

Лекция 9

ДИСПЕРСИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗЫ

9.1 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Во многих практических ситуациях представляет интерес влияние того или иного качественного фактора на рассматриваемый показатель. Влияет ли квалификация наладчиков на качество обслуживания ЭВМ? Влияет ли метод построения имитационных моделей на точность моделирования физической системы? Влияют ли примеси на качество стекловолокна? и др. Ответ на эти и аналогичные вопросы дается методами однофакторного дисперсионного анализа [5].

Пусть, например, качество программного продукта определяется с помощью k различных тестов и необходимо исследовать, влияет ли фактор «тест» на результат проверки. Если тестов два, то проверка гипотезы о средних показателей тестов проводится рассмотренными ранее методами проверки статистических гипотез о равенстве средних с использованием критерия Стьюдента. Если тестов более двух, то проверка гипотезы о равенстве средних показателей тестов проводится с использованием методов дисперсионного анализа.

Проверяется нулевая гипотеза Н0: m1=m2=..=mk об отсутствии влияния на результативный признак Х (результат тестирования) фактора А (тест), имеющего k уровней Aj , j=1, 2, …k.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в том, чтобы сопоставить дисперсию за счет воздействия фактора А с дисперсией, обусловленной случайными причинами (остаточная дисперсия). Если различие между ними несущественно, то влияние фактора А на признак Х незначительно. Если же различие между факторной и остаточной дисперсиями значимо, то это говорит о влиянии фактора А на рассматриваемый признак Х.

Предполагается, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием mj , зависящим от уровня фактора Aj и постоянной дисперсией σ2. В качестве исходных данных используются выборочные значения величины Х, полученные для каждого уровня фактора А; число элементов выборки на каждом уровне равно n, тогда общее число наблюдений равно nk. Обозначим через xij результат i-го наблюдения (i=1,2, … n) за j-м фактором.

Выборочное среднее, соответствующее j-у уровню фактора А (групповое среднее), вычисляется по формуле:

110

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Шамышева2