Шамышева2 / ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (Конспект лекций)

проксимируют подходящей кривой и, таким образом получают эмпириче-

скую оценку xcp(t), функции M[X(t)] – математического ожидания процесса.

При оценке корреляционного момента пользуются выше описанной

где n – число реализаций; t1, t2 выборочные параметры t; l – реализация процесса

1, 2, .. n.

Давая t1 и t2 все возможные значения получают ряд значений RX cp(t1, t2)

Аппроксимируя эти значения подходящей поверхностью в координатной системе t1, t2, RX(t1, t2) получают статистическую оценку корреляционной

еалии яя онной функции двух случайных процессов X(t) и Y(t). Расчет-

ная формула имеет вид:

n

RXY cp(t1, t2) = 1/n∑ l=1 [xl(t1) – xcp(t1)][yl(t2) – ycp(t2)].

7.5 Стационарные случайные процессы

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие в вероятностном отношении однородно при изменении параметра времени t. К

числу таких процессов относятся помехи в линиях связи, ошибки в системах автоматического регулирования и др. Вероятностный режим таких процессов не изменяется при любом сдвиге всей группы точек t1, t2, ..ts вдоль числовой оси, т.е при переходе к точкам t1+τ, t2+τ, ..ts+τ, где τ произвольно выбранное

93

время. Поэтому, прежде всего, случайная величина X(t) для любого момента

имеет одно и то же распределение и, значит, имеет одинаковые математиче-

ские ожидания и дисперсии. Для процесса в целом M[X(t)]=const,

D[X(t)]=const, а автокорреляционная функция процесса непрерывна и зависит

только от разности t2 – t1=τ, т.е. является непрерывной функцией RX(τ) одного

аргумента τ. Такие случайные процессы называются стационарными случай-

ными процессами. Для стационарных процессов доказана сходимость по ве-

роятности среднего по времени от случайной функции:

к математическому ожиданию M[X(t)] при T→∞.

Аналогично этому и для корреляционной функции доказана сходи-

мость по вероятности к величине

1/2T ∫ T-T x(t)x(t+τ)dt → RX(τ) при T→∞.

Точно так же для двух стационарных и стационарно связанных случай-

ных процессов X(t) и Y(t) доказывается сходимость по вероятности к еалии не :

1/2T ∫ T-T x(t)y(t+τ)dt → RXY (τ) при T→∞,

если x(t) и y(t) – возможные реализации процессов соответственно X(t) и Y(t).

Определение статистических оценок стационарного случайного про-

цесса можно производить не по множеству реализаций, а по единственной записи, если она охватывает большой интервал значений параметра времени

94

t. При этом на оси t откладывают n равных отрезков и в конце каждого из них определяются значения x1, x2., …xn.

Средняя арифметическая хср из них дает статистическую оценку мате-

матического ожидания случайного процесса.

Статистическая оценка автокорреляционной функции находится по формуле:

RX(τ) = 1/(n-τ)∑ n-τ (xl – xcp)(xl+τ – xcp).

l=1

Взаимная корреляционная функция двух стационарных процессов рас-

считывается по формуле:

RXY(τ) = 1/ (n-τ) ∑ n – τ (xl+τ – xcp)(yl – ycp).

l=1

Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайного процесса.

2.Чем характеризуется случайный процесс. Сечение случайного

процесса.

3.Одномерный закон распределения мгновенных значений слу-

чайной функции и связанные с ним основные характеристики.

4.Многомерный закон распределения мгновенных значений слу-

чайной функции и связанные с ним основные характеристики.

5.Гауссовский случайный процесс и его характеристики.

6.Определение статистических оценок математического ожидания

икорреляционной функции случайного процесса.

7.Стационарные случайные процессы и их характеристики.

95

Изучение действительности показывает, что вариация каждой переменной находится в тесной связи с вариацией других переменных, характеризующих исследуемую совокупность единиц. Вариация уровня производительности труда работников предприятий зависит от степени совершенства приме-

няемого оборудования, технологии, организации производства, труда и управления и других самых различных факторов.

При изучении конкретных зависимостей одни переменные выступают в каче-

стве факторов, обусловливающих изменение других переменных. Перемен-

ные этой первой группы будем называть факторными переменными; а пере-

менные, которые являются результатом влияния этих факторов, будем назы-

вать зависимыми (результативными).

Например, при изучении зависимости между производительностью труда ра-

бочих и энерговооруженностью их труда уровень производительности труда является результативной переменной, а энерговооруженность труда рабочих

– факторной переменной.

Рассматривая зависимости между переменными, необходимо выделить, пре-

жде всего, две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляцион-

ные.

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изме-

нением факторной переменной и изменением результативной величины, и

каждому значению факторной переменной соответствуют вполне определен-

ные значения результативного переменной. Функциональная зависимость может связывать результативную переменную с одним или несколькими факторными переменными. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов.

В корреляционных связях между изменением факторной и результативной пе-

ременными нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов про-

является лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных.

Одновременное воздействие на изучаемую переменную большого количества

97

самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же зна-

чению факторной переменной соответствует целое распределение значений результативной переменной, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные переменные могут изменять силу и направленность своего воз-

действия.

При сравнении функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между пере-

менными можно, зная величину факторной переменной, точно определить величину результативной переменной. При наличии же корреляционной за-

висимости устанавливается лишь тенденция изменения результативной пе-

ременной при изменении величины факторной переменной. В отличие от же-

сткости функциональной связи корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий и устанавливаются лишь их тенденции.

2. Корреляционный анализ

Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интерваль-

ной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детер-

минации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются сле-

дующие задачи:

- отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на ре-

зультативную переменную, на основании измерения степени связи между ними; -

- обнаружение ранее неизвестных причинных связей.

Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между переменными, но устанавливает численное значение этих связей и достовер-

ность суждений об их наличии.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

98

где (x1, y1), (x2 , y2 ),...,(xn , yn ) - фактические значения случайных

переменных X и Y,

Ковариация – это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг.

Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные

X и Y . Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными ис-

пользуется другая статистическая характеристика, называемая коэффициен-

том корреляции.

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n –наблюдений; хik – i-ое наблюдение k-ой переменной. Основными средствами анализа данных являются парные коэффициенты корреляции,

частные коэффициенты корреляции и множественные коэффициенты кор-

реляции.

Коэффициент парной корреляции

Для двух переменных X и Y теоретический коэффициент корреляции опре-

деляется следующим образом:

99

Где x 2 , y 2 - дисперсии случайных переменных X и Y , а x, y их кова-

риация.

Коэффициент парной корреляции является показателем тесноты свя-

зи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает сле-

дующими основными свойствами:

1) Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1),

или

| xy| < 1.

2) Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, т.е.

(α1X+β; α2Y+β)= xy,

где α1, α2, - постоянные величины, причем α1>0, α2>0.

3)Случайные величины Х, Y, можно уменьшать (увеличивать) в α раз,

атакже вычитать или прибавлять к значениям X и Y одно и тоже число β –

это не приведет к изменению коэффициента корреляции .

При = ±1 случайные величины X и Y связаны линейной зависимо-

стью, т.е. Y X .

При = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

В практических расчетах коэффициент корреляции генеральной со-

вокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найде-

на его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции r, так как выборочная совокупность переменных X и Y случайна, то в отличие от пара-

метра , r – случайная величина. Оценкой коэффициента корреляции яв-

ляется выборочный коэффициент парной корреляции:

100