Шамышева2 / ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (Конспект лекций)
.pdf
Лекция 11
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЭТАПНЫХ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1. Моделирование систем массового обслуживания
Достаточно часто при анализе вычислительных систем приходится решать т.н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется вычислительная система (ВС) обслуживания заявок, состоящая из некоторого количества ЭВМ. В ВС могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:
число заявок слишком велико для данной вычислительной мощности ВС, возникают очереди и за задержки в обслуживании приходится платить;
в ВС поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем ЭВМ ВС.
Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя ЭВМ в ВС, такого соотношения, при котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.
Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового об-
служивания, позволяет:
использовать методику определения средней длины очереди и среднего времени ожидания заявок в тех случаях, когда скорость поступления заявок и время их выполнения заданы;
найти оптимальное соотношение между издержками по причине ожидания в очереди и издержками простоя ЭВМ в ВС;
установить оптимальные стратегии обслуживания.
Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заявок (а значит — времени их обслуживания).
Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показатели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показа-
131
тели (значение суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления.
Очень редко при этом используется сама система для проведения натурального эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на приобретение дополнительных ЭВМ для вычислительной системы.
Поэтому следует знать о таком особом подходе к вопросу моделирования систем как метод статистических испытаний или метод Монте Карло.
Вернемся к примеру с анализом работы вычислительной системы (ВС). Пусть у нас всего лишь одна ЭВМ и заранее известны:
-— средняя скорость поступления заявок и
-— средняя скорость выполнения заявок (штук в единицу времени),
итаким образом задана величина = / — интенсивность нагрузки ЭВМ. Уже по этим данным оказывается возможным построить простейшую
модель системы. Будем обозначать X число заявок, находящихся в очереди на обслуживании в единицу времени, и попытаемся построить схему случайных событий для определения вероятности P(X).
Событие — в очереди находятся точно X заявок, может наблюдаться в одной из четырех ситуаций:
-В очереди было X заявок (A1), за это время не поступило ни одной новой заявки (A2) и за это же время не был выполнена ни одна заявка из находящихся в очереди (A3).
-В очереди было X - 1 заявок (B1), за это время поступила одна новая заявка (B2) и за это же время не была выполнена ни одна заявка из находящихся в очереди (B3).
-В очереди было X + 1 заявок (C1), за это время не поступило ни одной новой заявки (C2) и за это же время был выполнена одна заявка из находящихся в очереди (C3).
-В очереди было X заявок (D1), за это время поступила одна новая заявка (D2) и за это же время был выполнена одна заявка из находящихся в очереди (D3).
Такая схема событий предполагает особое свойство "технологии" нашей системы — вероятность поступления более одной заявки за рассматриваемую единицу времени и вероятность выполнения более одной заявки за то же время считаются равными 0.
Это не такое уж "вольное" допущение — длительность отрезка времени всегда можно уменьшить до необходимых пределов.
А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3, C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов интере-
132
сующего нас события — в течение заданного нами интервала времени длина очереди не поменялась.
Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в X заявок:
P(X) = x (1- ), |
{1} |
а также для математического ожидания длины очереди: |
|
MX = / (1- ). |
{2} |
Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры. Пусть мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки ВС, то есть вдвое "завысили" ее пропускную способность по отношению к потоку заявок.
Тогда для = 0.5 имеем следующие данные:
Таблица 1
Очередь |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 и более |
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
0,5 |
0.25 |
0.125 |
0.0625 |
0.0625 |
|
|
|
|
|
|
Обобщим полученные результаты:
очередь в 4 и более заявок практически невероятна;
Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий такого решения.
Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности нагрузки ВС.
Таблица 2
|
1 / 2 |
3 / 4 |
7 / 8 |
15 / 16 |
|
|
|
|
|
MX |
1 |
3 |
7 |
15 |
|
|
|
|
|
133
Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали известной информацию только о средней скорости (ее математического ожидания) выполнения заявок. Иными словами, мы считали время выполнения очередной заявки независящей ни от его "содержания" (объема, сложности и др.), ни от числа заявок, "стоящих в очереди".
В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто понимает ее возможности).
Если нам представляется возможность установить не только само (среднюю или ожидаемую скорость обработки заявки), но и разброс этой величины D (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заявок в очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):
MX = |
|
0.5 |
2 D ( )2 |
. |
(3) |
|
1 |
2.Основы теории статистических решений. Статистические игры
Специфическим видом игры, имеющим большое значение при анализе
практических ситуаций, являются статистические игры, в которых в качестве одного из игроков выступает природа [10]. Природа не имеет злого умысла по отношению к игроку (человеку). Она развивается и действует по своим законам. Во многих случаях человек не знает законы природы или знает недостаточно полно. Платой за попытку получить решение в условиях неполной информации о законе природы является возможность принять ошибочные решения.
Правда у человека есть возможность изучить природу посредством постановки эксперимента. Но проведение эксперимента требует времени и затрата средств. Поэтому важной задачей является принятие решения о том, нужно ли проводить эксперимент и какие действия предпринять после окончания эксперимента.
Пространство стратегий природы. Понимается полная совокупность внешних условий, в которых приходится принимать решения. Эту совокуп-
ность называют состоянием природы.
Пространство стратегий природы Θ=(ν1, ν2, ν3, …. ν m), где νi – чистые стратегии природы.
134
Если бы знали заранее, какую из своих чистых стратегий примет природа в каждом конкретном случае, то принимали бы решение на основе полного знания о природе.
Однако бывает известен только перечень чистых стратегий и априорное распределение вероятностей на пространстве состояний природы Θ: ε(ν). Θ – это смешенная стратегия природы.
Пространство стратегий статистика (ЛПР) и функции потерь. За-
дача статистика состоит в принятии какого-либо решения из совокупности решений. Чистые стратегии статистика, это его действия по выбору а1, а2, а3, .. аl. Совершая действия статистик может потерпеть убыток, описываемый функцией потерь L(ν, a), которая заранее должна быть определена для всех возможных комбинаций a € A и ν € Θ и представлена матрицей потерь:
Q=||qij||, |
(4) |
где qij=L(νi,aj).
Знание функции потерь позволяет статистику предпринять действия, которые являются наилучшими в условиях имеющейся у него информации.
Статистику бывает известна смешенная стратегия природы, т.е априорное распределение вероятностей ε(ν) на пространстве стратегий природы Θ. Знание этой информации позволяет определить средние потери, которые несет статистик выполняя те или иные действия: Средние потери статистика:
L(ε, a) = ∑L(ν,a) ε(ν). |
(5) |
ν€Θ
Наилучшим действием статистика является байесовское действие a*,
при котором средние потери будут минимальными: |
|
R*(ε) = L(ε, a*) = min L(ε, a) |
(6) |
a€A |
|
Статистик не обязательно должен ограничиваться |
использованием |
только чистых стратегий. Он может использовать смесь чистых стратегий в соответствии с некоторым вероятностным законом распределений – смешан-
ную стратегию.
Статистик с вероятностями η(a)=(η1, η2, η3, … ηl) может использовать чистые стратегии a1, a2, a3, … al . В общем случае он располагает некоторым набором смешанных стратегий H={η1(a), … ην(a)}, образующих пространство смешанных стратегий статистика.
Если статистик принимает смешанную стратегию η(a), а природа
смешанную стратегию ε(ν), то средние потери статистика составят: |
|
L(ε, ν) = ∑L(ν, a)ε(ν)η(a) |
(7) |
ν,a |
|
135
В этом случае задача статиста состоит в том, чтобы выбирать такую смешанную стратегию η*(a)€H, при котором его средние потери L(ε, η*) будут
минимальными: |
|
L(ε, η*) = min L(ε, η) |
(8) |
η€H |
|
В рассматриваем случае статистик определяет наилучшую стратегию действий только на основании имеющейся априорной информации о состоянии природы. Данный тип статистической игры называется статистической игрой без эксперимента.
Пример. Задача о замене оборудования. Установленные на ВЦ предприятия ЭВМ после К лет эксплуатации могут оказаться в следующем состоянии:
υ1 – ЭВМ вполне работоспособно и требует только небольшого текущего ремонта;
υ2 – некоторые устройства значительно износились и требуют серьезного ремонта или замены;
υ3 – основные устройства износились настолько, что дальнейшая эксплуатация ЭВМ невозможна.
Прошлый опыт эксплуатации технических средств ВЦ показывает, что 20% случаев оно может находиться в состоянии υ1, в 50% случаев в состоянии υ2 и в 30% случаев - υ3.
Для предприятия возможны три различных способа действия:
а1 – оставить ЭВМ в работе еще на год, проведя незначительный ремонт своими силами;
а2 – провести капитальный ремонт технических средств ВЦ с вызовом сторонних специалистов;
а3 – заменить технические средства ВЦ новыми.
Априорные вероятности состояний природы (технических средств ВЦ) и потери в задаче о замене оборудования приведены в таблице 1.
Таблица 1.
υ |
ε(ν) |
|
А |
|
|
а1 |
а2 |
а3 |
|||
|
|
||||
υ1 |
0,2 |
1 |
3 |
5 |
|
υ2 |
0,5 |
5 |
2 |
4 |
|
υ3 |
0,3 |
7 |
6 |
3 |
В величину потерь входят стоимость ремонта или замены технических средств (ТС) ВЦ, а также убытки, связанные с неисправностями в ТС. В этой же таблице приведены априорные вероятности различных состояний ТС ВЦ (природы), т.е. смешенная стратегия природы ε(ν).
Для заданной смешанной стратегии ε(ν) средние потери при различных способах действия составят (5):
136
L(ε, a1) = ∑L(ν,a) ε(ν)=1*0,2+5*0,5+7*0,3=4,8;
ν
L(ε, a2)=3,4; L(ε, a3)=3,9.
Необходимо выбрать чистую стратегию а2 , при которой средние потери минимальны.
Контрольные вопросы
1.Модели систем массового обслуживания. Область применения.
2.Определение вероятности длины очереди заявок и математического ожидания длины очереди.
3.Особенности статистических игр, в каких практических ситуациях они используются, приведите примеры.
4.Понятия чистой и смешанной стратегий статиста. Определение наилучшей стратегии действий.
137
Лекция 12 Введение в теорию нечетких множеств.
Выбор при нечеткой исходной информации
1. Введение в теорию нечетких множеств
Для начала дадим определение нечеткого множества, чтобы определить тот объект, с которым мы будем работать на протяжении всех лекций.
Вматематике давно используется понятие множества – совокупности объектов, выделенных по некоторому признаку. Это понятие является базовым в современной математике и потому не определяется строго, формально. Так, если задано некоторое базовое множество X (конечное или бесконеч-
ное), то его подмножеством (четким подмножеством) A называется любое множество, содержащее в себе только элементы множества X (хотя, может быть, и не все его элементы).
Любое подмножество A множества X можно описать его функцией принадлежности μA : X →{0; 1} , значение которой для элемента x€X равно единице в том случае, если этот элемент принадлежит множеству A, и нулю – в противном случае.
Соответствие между подмножествами множества X и всевозможными функциями принадлежности μ : X →{0; 1} является взаимно однозначным, то есть, определив некоторое подмножество, мы можем определить его функцию принадлежности, и обратно, задание функции μA : X →{0; 1} задает и подмножество множества X.
Вчетком множестве любой элемент может или принадлежать ему, или не принадлежать, поэтому функция принадлежности принимает лишь два возможных значения ноль или единица.
Внечетком же множестве (точнее, в нечетком подмножестве базового множества X) любой элемент x € X может принадлежать множеству с некоторой степенью достоверности, принимающей значения от нуля (элемент достоверно не принадлежит множеству) до единицы (элемент достоверно принадлежит множеству). Соответственно и функция принадлежности нечеткого множества может принимать любое значение из отрезка [0; 1].
Мы определим понятие нечеткого множества через его функцию принадлежности. Пусть X – некоторое обыкновенное (четкое) множество. В
дальнейшем мы будем рассматривать его нечеткие подмножества.
Определение 1. Нечетким множеством A~ в X называется функция
μA : X →{0; 1}, которая каждому из элементов множества X ставит в соответствие степень его принадлежности нечеткому множеству A~ .
Нечеткое множество A~ называется нормальным, если sup μ A~ (х)
138
x X
В противном случае оно называется субнормальным. Носителем supp A ~ нечеткого множества A~ называется обычное множество
supp A~ := {x€ X : μ A~ (x) > 0} .
Пример 1. Пусть множество X – это множество всех действительных чисел. Множество A чисел, больших нуля, будет его четким подмножеством с функцией принадлежности
x
μ A(x)
0, x
Мы можем определить нечеткое множество A~ чисел, «много больших нуля», задав его функцию принадлежности μ A~ , например, следующим образом:
x μ A~ (x) x
0,5- 0,5cos(πx/100) , 0<x≤100
Действительно, числа, меньшие нуля, достоверно не являются много большими нуля, поэтому функция принадлежности в этих точка равна нулю.
(Далее нечеткие объекты (множества, отношения и т.д.) будут обычно обозначаться волной).
Числа, большие ста, в большинстве приложений (будем считать, что и в нашем случае), достоверно считаются много большими нуля, поэтому функция принадлежности для таких чисел равна единице. По поводу же чисел в интервале между 0 и 100 достоверно сказать, что они являются много большими нуля, нельзя, поэтому функция принадлежности на этом интервале принимает значения между нулем и единицей. В то же время понятно, что чем больше число, тем больше у нас оснований считать его много большим нуля. Поэтому на интервале от нуля до ста функция принадлежности монотонно возрастает.
Носителем нечеткого множества A~ является интервал (0; + ∞) . Функции принадлежности множеств A и A~ приведены на рисунке 1.
139
A
1,0
A~
0,0 |
X |
|
100
Рисунок 1. Сравнение функций принадлежности четких и нечетких множеств
Теория нечетких множеств была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. и предназначалась для преодоления трудностей представления нечетких понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек [11].
Подходы на основе нечетких множеств имеют три основные отличительные черты:
1)вместо и в дополнение к числовым переменным используются нечеткие величины и так называемые «лингвистические» переменные;
2)простое отношение между переменными описывается с помощью нечетких высказываний;
3)сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами.
Такой подход дает приближенный, но в то же время эффективные способы описания поведения системы, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу.
Пример 2. В теории принятия решений часто приходится оценивать различные величины, имеющиеся в распоряжении лица, принимающего решение (ЛПР): ресурсы, параметры внешней среды и др. Рассмотрим, например, коммерческую фирму, которая рассматривает возможность проведения рекламной кампании своей продукции. Для того чтобы принять обоснованное решение, фирме необходимо предсказать, как проведение кампании скажется на продажах. Таким образом, руководству фирмы необходимо оценить изменение суммы продаж в результате проведения рекламной кампании.
Если фирма имеет обширный опыт подобной деятельности, у нее могла накопиться статистика динамики продаж в зависимости от проводимых рек-
140