7. Алгебраические числа

В этом разделе все поля являются подполями поля комплексных чисел.

Число называется алгебраическим над полемF, еслиесть корень некоторого многочлена изF[x].

Число называется алгебраическим, еслиалгебраично над полем рациональных чисел. Это равносильно тому, чтоесть корень многочлена с целыми коэффициентами. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

В школьном курсе алгебры рассматривается задача освобождения от квадратичной иррациональности в знаменателе дроби. Она решается с помощью домножения знаменателя на сопряженное выражение. Аналогично решается общая задача освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример7.1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, где³– 3+ 3 = 0.

Решение. Числоесть корень многочлена(х) =х³– 3х+ 3. В знаменателе дроби стоит значениеf(), гдеf(x) = x²–x+ 2. Найдем НОД(, f ) и его линейное представление, как в примере 2.1. Получим

НОД(, f ) = 35 = (4x+ 3)– (4x²+ 7x– 13)f.

(нет необходимости делать НОД(, f ) = 1).Подставив значение х =  и воспользовавшись тем, что () = 0, получим 35 = –(4²+ 7– 13)f(). Значит, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, достаточно умножить его на 4²+ 7– 13. На это же выражение умножаем числитель и получаем

==.

В числителе степень следует понизить, сделав ее меньше, чем у. Для этого разделим с остаткомh(x) = 4x³+ 15x²– 5x– 26 на(х). Получим

h(x) = 4(х) + 15х²+ 7х– 38,

откуда h() = 15²+ 7– 38. Окончательно получаем

=.

Упражнение 7.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) , где ³ – 2² + 2 = 0;

б) , где ³ + 4 + 2 = 0;

в) .

Задание для контрольной работы

Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

1. Разложить многочлен f (х) по степеням х –c:

1. f = 2x⁴ – 3x² + 5x + 2, c = 2;

2. f = 2x⁴ – 3x³ + 2x + 1, c = 2;

3. f = 3x⁴ – 3x² + 4x + 4, c = 2;

4. f = 2x⁴ + 3x³ – x² + 2, c = 2;

5. f = 2x⁴ – 5x² + 2x + 3, c = 3;

6. f = 2x⁴ – 3x³ + 5x + 2, c = 2;

7. f = 3x⁴ – 3x² – 5x + 1, c = 1;

8. f = 2x⁴ + 3x³ + 5x – 2, c = 2;

9. f = 2x⁴ – x² – 5x + 3, c = 3;

1.10 f = 2x⁴ – 3x³ + 2x + 5, c = 2.

2. Найдите НОД(f, g) и его линейное представление:

1. f = x⁴ + 4x³ + 7x² + 8x + 2, g = x³ + 3x² + 3x + 2;

2. f = x⁴ – x² – 4x – 4, g = x³ – x² – x – 2;

3. f = x⁵ + 2x⁴ + 4x³ + 4x² + 3x + 2, g = x⁴ + x³ + 2x² + x + 1;

4. f = x⁴ + 2x³ + x² + x – 2, g = x³ + 3x² + 3x + 2;

5. f = x⁴ – 2x³ + x² – 3x + 2, g = x³ – x² – x – 2;

6. f = x⁵ + 2x³ – x² + x – 1, g = x⁴ + x³ + 2x² + x + 1;

7. f = x⁵ – x² – x + 1, g = x⁴ + x³ – x – 1;

8. f = x⁴ + 2x³ + x² + 3x + 2, g = x³ + x² – x + 2;

9. f = x⁴ – 2x³ + x² – x – 2, g = x³ – 3x² + 3x – 2;

2.10 f = x⁴ – 3x³ + x² – 2x – 3, g = x³ – 4x² + 4x – 3.

3. Разложите многочлен на множители, отделив кратные множители:

1. x⁵+ 5x⁴+ 3x³– 13x² – 8x+ 12;

2. x⁵– 4x⁴+x³+ 14x² – 20x+ 8;

3. x⁵ – 5x⁴ + 7x³ + x² – 8x + 4;

4. x⁵ – 5x⁴ + 3x³ + 13x² – 8x – 12;

5. x⁵ + x⁴ – 5x³ – x² + 8x – 4;

6. x⁵ – 3x⁴ – 5x³ + 27x² – 32x + 12;

7. x⁵ – 9x⁴ + 31x³ – 51x² + 40x – 12;

8. x⁵ – 8x⁴ + 25x³ – 38x² + 28x – 8;

9. x⁵ – 7x⁴ + 19x³ – 25x² + 16x – 4;

3.10 x⁵ + 3x⁴ – 51x³ – 27x² – 32x – 12.

4. Выразите через элементарные симметрические многочлены:

1. f = x₁⁴x₂ + x₁⁴x₃ +x₁x₂⁴ + x₁x₃⁴ + x₂⁴x₃ + x₂x₃⁴;

2. f = x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ – 3x₁²x₂² – 3x₁²x₃²– 3x₂²x₃²;

3. f = x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ + 3x₁²x₂² + 3x₁²x₃²+ 3x₂²x₃²;

4. f = x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ – x₁²x₂² – x₁²x₃²– x₂²x₃²;

5. f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴;

6. f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴ – x₁³x₂³ – x₁³x₃³– x₂³x₃³;

7. f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴ – 2x₁³x₂³ – 2x₁³x₃³– 2x₂³x₃³;

8. f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴ – 3x₁³x₂³ – 3x₁³x₃³– 3x₂³x₃³;

9. f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴ + 2x₁³x₂³ + 2x₁³x₃³ + 2x₂³x₃³;

4.10 f = x₁⁴x₂x₃ + x₁x₂⁴x₃ + x₁x₂x₃⁴ + 3x₁³x₂³ + 3x₁³x₃³ + 3x₂³x₃³.

5. Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий:

2. двойной корень 2 и простой корень 1 – 2i;

5.2 двойной корень 1 и простой корень 2 – i;

5.3 двойной корень 3 и простой корень 1 – i;

5.4 двойной корень 2 и простой корень 1 + 2i;

5.5 двойной корень 1 и простой корень –1 – 2i;

5.6 двойной корень 2 и простой корень –1 – i;

5.7 двойной корень 3 и простой корень 1 + 2i;

5.8 двойной корень 3 и простой корень –1 + 2i;

5.9 двойной корень 1 и простой корень 1 – 2i;

5.10 двойной корень 2 и простой корень –2 – i.

6. Найдите рациональные корни многочлена

1. 4x⁴+8x³–19x² – 23x+ 30;

2. 4x⁴+8x³–23x² – 25x+ 42;

6.3 4x⁴–8x³– 23x² + 67x– 42;

6.4 6x⁴–9x³– 21x² + 36x– 12;

6.5 6x⁴– 3x³– 39x² + 48x– 12;

6.6 9x⁴– 21x³–11x² + 44x– 20;

6.7 9x⁴– 30x³– 8x² + 61x– 30;

6.8 9x⁴+ 24x³– 26x² – 41x+ 30;

6.9 9x⁴+ 30x³–12x² – 53x+ 30;

6.10 9x⁴+ 30x³– 3x² – 32x+ 12.

7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

7.1, где ³ – 3 + 3 = 0;

7.2 , где ³ – 2 + 2 = 0;

7.3 , где ³ – 2² + 2 = 0;

7.4, где ³ – 3 + 3 = 0;

7.5, где ³ + 2 – 2 = 0;

7.6 , где ³ – 3 + 3 = 0;

7.7 , где ³ – 4 + 2 = 0;

7.8 , где ³ – 2² + 2 = 0;

7.9 , где ³ + 2 + 2 = 0;

7.10 , где³– 6+ 3 = 0.

Л и т е р а т у р а:

1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., «Высшая школа», 1979.

2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М., «Наука», 1977.