4. Симметрические многочлены

Пусть f(x₁, … ,x_n) – многочлен отnпеременных. Для его членов вводится лексикографическое упорядочивание: выше (записывается ≻ ), если для некоторого 1i nимеем₁=₁, … ,_i-1=_i-1,_i<_i. На основании этого упорядочивания у многочлена всегда можно выделить высший член. Степенью члена называется число₁+ … +_n. Степенью многочлена называется максимальная из степеней его членов (при условии, что приведены подобные члены). Многочлен называется однородным, если все его члены одной степени.

Пример4.1. Расположите следующие члены в порядке их лексикографического убывания:х₁²х₂х₃³,х₁³х₃,х₂⁴х₃²,х₃³.

Решение. Согласно определению, имеемх₁³х₃≻х₁²х₂х₃³≻х₂⁴х₃²≻х₃³.

Многочлен f(x₁, … ,x_n) называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке переменных.

У высшего члена симметрического многочлена показатели при переменных расположены в порядке нестрогого убывания.

Пример4.2. Высший член симметрического многочлена от трех переменных естьх₁⁴х₂. Выпишите в порядке лексикографического убывания все возможные высшие члены симметрических многочленов, которые ниже данного и имеют ту же степень.

Решение. Степени членов равны 5. Последовательности показателей при переменных у них не возрастают. Поэтому, чтобы получить следующий возможный высший член, мы можем уменьшить на 1 показатель только ух₁. Получимх₁³, и независимо от показателей при остальных переменных полученный член будет ниже предыдущего. Поэтому присваиваемх₂максимально возможную степень, исходя из того, что она не выше, чем ух₁, и суммарная степень равна 5. Получаем членх₁³х₂². Для следующего члена есть возможность уменьшить на 1 показатель ух₂, перекинув эту единицу кх₃. Получаем членх₁³х₂х₃. Больше уменьшать показатель ух₂нельзя, так как тогда увеличится показатель ух₃, и последовательность показателей будет иметь возрастание. Значит, опять уменьшаем на 1 показатель ух₁, расставляя показатели прих₂и х₃, как описано выше. Получаем член х₁²х₂²х₃, который понизить уже невозможно. В итоге получаемх₁⁴х₂≻х₁³х₂²≻х₁³х₂х₃≻х₁²х₂²х₃.

Элементарными симметрическими многочленами от n переменныхx₁, … ,x_nназываются многочлены

₁ = x₁+ … + x_n;

₂=x₁x₂+x₁x₃ +… +x_n-1 x_n;

……………………………..

;

……………………………..

_n = x₁… x_n.

Теорема 4.1.Любой симметрический многочлен над кольцом К отnпеременных можно представить как многочлен над К от элементарных симметрических многочленов.

Пример4.3. Выразить многочленf = x₁³ + x₂³ + x₃³ – x₁x₂x₃через элементарные симметрические многочлены.

Решение. Многочлен является однородным. Его высший член естьx₁³. Для него последовательность показателей при переменныхx₁,x₂,x₃есть 3, 0, 0. Выписываем в столбец последовательности показателей, соответствующие всем возможным более низким высшим членам той же степени, определенным как в примере 4.2. Для каждой такой последовательности₁,₂,₃строим выражение.Оформляем это следующим образом:

3 0 0 ₁^3–0₂^0–0₃⁰=₁³;

2 1 0 ₁^2–1₂^1–0₃⁰=₁₂;

1 1 1 ₁^1–1₂^1–1₃¹=₃.

Искомое выражение является суммой построенных, взятых с некоторыми коэффициентами. Первый коэффициент равен коэффициенту при высшем члене x₁³исходного многочлена, а остальные найдем методом неопределенных коэффициентов. Имеем

f = ₁³ + a₁₂ + b₃.

Для нахождения аиbподставляем в получившееся равенство некоторые наборы значений переменныхx₁,x₂,x₃и получаем уравнения, в которыхаиbявляются неизвестными.

1) x₁ =x₂ = 1,x₃= 0, тогдаf = 2,₁= 2,₂= 1,₃= 0. Получаем уравнение 2 =8 + 2a, откудаа= –3.

2) x₁ =x₂ =x₃= 1, тогдаf = 2,₁= 3,₂= 3,₃= 1. Получаем уравнение 2 =27 – 27 +b, откудаb= 2.

Ответ: f = ₁³– 3₁₂+ 2₃.

Упражнение 4.1. Выразите через элементарные симметрические многочлены:

а) f = x₁³x₂ + x₁³x₃ + x₁x₂³ + x₁x₃³ + x₂³x₃ + x₂x₃³;

б) f = x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ – 2x₁²x₂² – 2x₁²x₃²– 2x₂²x₃²;

в) f = (x₁² + x₂²)(x₁² + x₃²)(x₂² + x₃²).

Теорема 4.2 (Виет).Пусть многочленn-ой степениf = xⁿ+a₁x^n-1+…+a_nнад полемFимеетnкорней₁, … ,_n (взятых с учетом кратности). Тогда корни и коэффициенты многочлена связаны соотношениями

a_i = (–1)ⁱ_i(₁, … , _n), i = 1, … , n,

где _i(₁, … ,_n) – элементарные симметрические многочлены от корней многочлена.

Упражнение4.2. Найдите сумму кубов корней (комплексных) многочленаf = x³+ 2x²– 3x– 1.