5. Многочлены над полями комплексных и действительных чисел

Поле Fназывается алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени надFимеет корень вF.

Теорема 5.1 (основная теорема алгебры многочленов).Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Следствие 5.1.1.НадСсуществуют неприводимые многочлены только первой степени.

Следствие 5.1.2. Многочленn-ой степени надСимеетnкомплексных корней.

Теорема 5.2.Если– комплексный корень многочленаfс действительными коэффициентами, то комплексное сопряженное число- также кореньf.

Следствие 5.2.1.НадRсуществуют неприводимые многочлены только первой или второй степени.

Следствие 5.2.2.Мнимые корни многочлена надRраспадаются на пары комплексных сопряженных.

Пример5.1. Разложить на неприводимые множители надСи надRмногочленx⁴+ 4.

Решение. Имеем

x⁴+ 4 =x⁴+ 4х²+ 4 – 4х²= (x²+ 2)²– 4х²= (x²– 2х+ 2)(x²+ 2х+ 2) –

разложение над R. Найдя обычным способом комплексные корни многочленов второй степени, стоящих в скобках, получаем разложение над С:

x⁴ + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Пример5.2. Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни 2 и 1 +i.

Решение. Согласно следствию 5.2.2, многочлен должен иметь корни 2, 1 –i и 1 +i. Коэффициенты его можно найти по формулам Виета:

₁ = 2 + (1 –i) + (1 +i) = 4;

₂ = 2(1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

₃ = 2(1 – i)(1 + i) = 4.

Отсюда f =x³– 4x²+ 6x– 4.

Упражнения.

5.1. Разложите на неприводимые множители над Си надRмногочлены:

а) х³ – 6х² + 11х – 6;

б) х⁴ – 10х² + 1.

5.2. Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простой корень 1 – 2i.

6. Многочлены над полем рациональных чисел

Теорема 6.1 (критерий Эйзенштейна). Пусть f = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ– многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое числоp, чтоa₀ , a₁, … , a_n-1делятся наp, a_nне делится наp,a₀не делится наp², тоf не приводим над полем рациональных чисел.

Упражнение 6.1. Докажите неприводимость надQмногочленов:

а) f= 2х⁵ + 3х⁴ – 9х³ – 6х + 3;б)f= 5х⁴ + 6х³ – 18х² – 12х + 54.

Теорема 6.2.Пусть– несокр­атимая ­­дробь, являющаяся корнем многочленаf = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿс целыми коэффициентами. Тогда

1. a₀  p, a_n q;

2. f(1)  p – q, f(–1)  p + q.

Эта теорема позволяет решить задачу отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Для этого определяем все делители свободного члена и старшего коэффициента и строим из них всевозможные несократимые дроби. Все рациональные корни содержатся среди этих дробей. Для их определения можно использовать схему Горнера. Чтобы избежать в ней лишних вычислений, используем утверждение 2) теоремы 6.2.

Пример6.1. Найти рациональные корни многочлена

f = 2х⁴ + 7х³ + 3х² – 15х – 18.

Решение. Выписываем все дроби, числители которых p – делители 18, а знаменателиq– делители 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, , ,.

Производим их проверку по схеме Горнера:

	2	7	3	–15	–18	Комментарий
1	2	9	12	–3	–21	f(1) = –21  p – q
–1	2	5	–2	–13	–3	f(–1) = –3  p + q
2	2	11	25	35	52
–2	2	3	–3	–9	0	х1= –2
1/2	2	4	–1	–19/2
–1/2	2	2	–4	–7
3/2	2	6	6	0		х2= 3/2
	1	3	3

Найдя корень х₁= –2 и разделив многочлен нах+ 2, получили многочлен с новым свободным членом –9 (его коэффициенты подчеркнуты). Числители остальных корней должны быть делителями этого числа, и из списка можно исключить дроби, не удовлетворяющие этому условию. Остальные целые значения исключены, так как не удовлетворяют условию f(1)p – q или f(–1)p + q. Например, для 3 имеемp = 3, q= 1, и не выполняется условиеf(1) = –21p – q(как и второе условие).

Аналогично найдя корень х₂= 3/2, получили многочлен с новым свободным членом 3 и старшим коэффициентом 1 (когда корень дробный, следует произвести сокращение коэффициентов получившегося многочлена). Ни одно оставшееся число из списка больше не может быть его корнем, и список рациональных корней исчерпан.

Найденные корни следует проверять на кратность.

Если в процессе решения пришли к многочлену второй степени, а список дробей еще не исчерпан, то оставшиеся корни можно найти по обычным формулам как корни квадратного трехчлена.

Упражнение 6.2. Найдите рациональные корни многочлена

а) х³ – 6х² + 15х – 14;

б) х⁵ – 7х³ – 12х² + 6х + 36;

в) 2х⁴ – 11х³ + 23х² – 24х + 12;

г) 4х⁴ – 7х² – 5х – 1.