2. Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель нескольких многочленов – это такой их общий делитель, который кратен любому их общему делителю. Если

d= НОД(f₁, … ,f_n), то существуют такие многочленыu₁, … ,u_n, что

d = u₁ f₁ +… + u_n f_n.

Это выражение называется линейным представлением НОД.

Для нахождения НОД(f, g) и его линейного представления используется алгоритм Евклида. Он заключается в последовательном делении с остатком первого многочлена на второй, затем второго на остаток, и т.д. Последний ненулевой остаток есть НОД(f, g). С помощью получившейся цепочки делений находится линейное представление.

Пример2.1. Найти НОД(f, g) и его линейное представление:

f=х⁴ + 2х³ –х² +x + 1;

g= 2х³ –х – 1.

Решение. Выполняем цепочку делений с остатком:

Результаты делений записываем в следующем виде:

f = g  (1/2 x + 1) – ½ r₁, r₁ = x² – 5x + 4;

g = r₁  (2x + 10) + 41r₂, r₂ = x – 1; (*)

r₁= r₂  (x – 4).

Последний ненулевой остаток r₂=x– 1 и есть НОД(f, g). Его линейное представление находим с помощью формул (*):

r₁ = 2f – 2g  (1/2 x + 1) = 2f – g  (x + 2);

41r₂ = g – r₁  (2x + 10) = g – (2f – g  (x + 2))  (2x + 10) =

= g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x²+ 14x+ 21)g;

НОД(f, g) = x – 1= r₂ = f + g.

З а м е ч а н и е. Если не требуется находить линейное представление НОД, то при вычислениях числовые коэффициенты при получающихся остатках учитывать не требуется, и их можно отбрасывать. Чтобы в вычислениях избежать появления дробей, можно делимое перед выполнением деления умножить на подходящее целое число.

Упражнение 2.1. Найдите НОД(f, g) и его линейное представление:

а) f=х⁶ – 4х⁵+ 11х⁴ – 27х³+ 37х² – 35x + 35;

g=х⁵ – 3х⁴+ 7х³ – 20х²+ 10x – 25.

б) f = 4х⁴ – 2х³ – 16х² + 5x + 9;

g= 2х³ –х² – 5х + 4.

3. Кратные множители

Формальной производной многочлена f = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿнад полемFназывается многочленf  = a₁ + 2a₂x² + … + na_nx^n-1, где дляkN,aFимеем.

Многочлены fиgназываются ассоциированными, если они кратны друг другу. Многочленfнад кольцом К называется приводимым над К, если он ненулевой и его можно представить в виде произведения двух необратимых многочленов. Многочленfназывается неприводимым над К, если он необратим над К и любой его делитель ассоциирован сfили 1. Над полем неприводимы только многочлены положительной степени. Многочлен над полем разлагается в произведение неприводимых, и это разложение единственно с точностью до порядка и ассоциированности.

Многочленfимеет неприводимый множительpкратностиk, еслиfp^k,fp^k+1. Множитель называется кратным, если его кратность больше 1.

Теорема 3.1.Если многочленfнад полем имеет неприводимый множительpкратностиk, тоp– неприводимый множитель кратностиk–1 дляf .

Эта теорема помогает решать задачу отделения кратных множителей многочлена f и разложения с помощью этого многочлена на множители. Для этого находим НОД(f, f ) =d. Многочленdсоставлен из кратных множителей многочленаf, каждый из которых входит вdс кратностью на 1 меньшей, чем вf. Если удается разложитьdна множители, то определяются все кратные множители многочленаf,и облегчается задача разложения его на множители. В противном случае можно рассмотреть многочлен. Он составлен из всех простых множителей многочленаf,взятых с кратностью 1. Если и этот многочлен не удается разложить, то можно, например, найти НОД(f₁, d), или применить описанный алгоритм к многочленуd.

Пример3.1. Разложить на множители многочлен

f = x⁵– 15x³– 10x²+ 60x+ 72.

Решение. Вычисляемf = 5x⁴– 45x²– 20x+ 60 = 5(x⁴– 9x²– 4x+ 12). Так как нам не требуется искать линейное представление НОД, то ненулевые числовые коэффициенты, которые выносятся из коэффициентов многочлена, можно отбрасывать. Поэтому вместоf возьмемg =x⁴– 9x²– 4x+ 12. Выполнив цепочку делений с остаткомf на gсогласно алгоритму Евклида, получаем

f = xg – 6r₁, r₁ = x³ + x² – 8x – 12;

g = (x – 1) r₁.

Следовательно, d =НОД(f, f ) =r₁ =x³+x²– 8x – 12. Так как степень НОД больше 2 и разложить его на множители достаточно затруднительно, то рассмотрим многочлен=x²–x – 6 = (x– 3)(x+ 2). Так какf₁имеет степень 2 и его удалось разложить на множители, то определены все неприводимые множители многочленаf, и осталось только определить их кратность. Сделаем это с помощью схемы Горнера.

	1	0	–15	–10	60	72
–2	1	–2	–11	12	36	0
–2	1	–4	–3	18	0
–2	1	–6	9	0
–2	1	–8	25
3	1	–3	0
3	1	0

Ответ: f= (x+ 2)³(x– 3)².

Замечание. Так как в процессе решения мы полностью определили все простые множители многочленаf,то определять кратность множителя (x– 3) по схеме Горнера было не обязательно: так как степень многочлена равна 5 и кратность первого множителя первой степени равна 3, то кратность второго множителя должна быть равна 2.

Упражнения.

3.1. Разложите на множители многочлен:

а) f = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;

б) f = x⁵ – 6x⁴ + 16x³ – 24x² + 20x – 4.

3.2. Докажите, что многочлен x²ⁿ – nxⁿ⁺¹+nx^n–1 –1 имеет число 1 тройным корнем.