Для машиностроения Мех.мат / Лекция №18-механика

Лекция №18

Тема: «Изгиб»

Вопросы:

1. Касательные напряжения при поперечном изгибе

2. Центр изгиба

3. Главные напряжения при изгибе. Линии главных площадок

1. Касательные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе помимо изгибающего момента М в сечении возникает поперечная сила Q, которая вызывает касательные напряжения. Для их определения рассмотрим верхнюю часть отрезка балки (см. рис. 1), длиной dz: от линии m-n.

Рис. 1

В левом сечении будут возникать нормальные напряжения:

в правом:

.

В сечении m-n будут возникать касательные напряжения. Для определения их величины рассмотрим условие статического равновесия кусочка балки относительно оси Z.

или

.

Разность значений моментов на бесконечно близком расстоянии один от другого представляет собой дифференциал момента dM, а  статический момент заштрихованной части сечения, образуемой верхней частью сечения до линии m-n (отсеченной частью сечения) относительно оси X.

где  площадь заштрихованной части сечения.

Тогда:

или

.

Первая производная от момента по Z равна поперечной силе Q, поэтому получим окончательную формулу:

. (1)

Согласно закону парности касательных напряжений, касательные напряжения в поперечных сечениях по линии m-n будут равны касательным напряжениям в продольном сечении, определяемым по формуле (1). Из формулы видно, что касательные напряжения прямо пропорциональны . Определим характер изменения касательных напряжений по высоте сечения для прямоугольного профиля. Пусть рассматриваемая точка В лежит на расстоянии Y от оси X. Через точку В проводим прямую, параллельную оси X (см. рис. 1). Эта прямая рассекает сечение на мне части, статические моменты которых относительно оси X равны, так что безразлично какую часть сечения рассматривать.

Рис. 2

Будем рассматривать верхнюю (заштрихованную) часть. Статический момент любой фигуры равен произведению площади на координату центра тяжести.

,

где =

.

В результате получим:

,

т.е. изменяется по закону параболы, так как Y во второй степени. Поскольку между  и прямая пропорциональность, то и эпюра  будет изменяться по высоте по закону квадратичной параболы. При ; =0 и =0. Наибольшее значение будет при y=0, поэтому наибольшие касательные напряжения будут возникать на нейтральной линии.

У двутаврового сечения характер распределения касательных напряжений будет следующий (см. рис. 3). Резкий скачок на эпюре  в месте перехода полки к стенке вызван резким уменьшением ширины сечения b, входящей в знаменатель формулы (1). Касательные напряжения, возникающие в полках незначительны по сравнению с возникающими в стенке, и ими обычно игнорируют. Поэтому эпюру  изображают без этих участков (показано справа).

Рис. 3

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в нейтральном слое, сравнивают с расчетным сопротивлением на срез R_s:

.

2. Центр изгиба

Для балок целесообразно применять тонкостенные профили с развитыми горизонтальными полками и тонкой стенкой. Такие профили обычно изготавливают прокаткой или гибкой из листовой заготовки. При этом особенно технологичны профили с одной осью симметрии, например, швеллер (см. рис. 4, а).

При поперечном изгибе в стенке возникнут касательный напряжения , определяемые но формуле (1), и эпюра представляет параболу. В полках тоже будут возникать касательные напряжения. Их можно определить таким же путем, делая вертикальные разрезы полки. Эпюра касательных напряжений представляет треугольник. Касательные напряжения в верхней и нижней полках направлены в разные стороны и будут создавать момент, подвергающий сечение скручиванию (см. рис. 4, б). Его можно исключить, если внешнюю силу приложить в точке С. Из условия равенства моментов, определим расстояние а, на котором нужно приложить внешнюю силу:

,

где Т  усилие, возникающее в полках от напряжения ,

t  толщина полки,

h  высота профиля.

. (2)

Рис. 4

3. Главные напряжения при изгибе

При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения, определяемые по формулам:

; и .

В продольном сечении нормальные напряжения отсутствуют, а касательные равны касательным напряжениям в поперечном сечении (закон парности касательных напряжений).

Поэтому элемент будет иметь вид (см. рис. 5).

Главные напряжения определяют по формуле:

.

Рис. 5

В данном случае:

.

Главные напряжения имеют индексы:

, поэтому:

.

Положение главной площадки определяют по формуле:

.

Вторая главная площадка будет перпендикулярна найденной.

Исследуем напряженное состояние в тpex точках, лежащих в одном и том же поперечном сечении, но взятых на разной высоте (см. рис. 6), а именно: в верхнем сжатом волокне (точка 1), в нейтральном слое (точка 2) и в нижнем растянутом волокне (точка 3).

В точке 1:

;

,

вторая площадка перпендикулярна, следовательно,

В точке 2: .

Если на площадках действуют только касательные напряжения, то это чистый сдвиг.

,

следовательно: .

Рис. 6

В точке 3: ;

.

Вычисляя главные напряжения для целого ряда точек какого-либо поперечного сечения, можно построить эпюры и и определить углы, под которыми расположены главные площадки.

Скачки в эпюрах и объясняются наличием скачка в эпюре в месте перехода полки к стенке. В этих местах и зачастую превышают . Это обстоятельство обязательно должно быть учтено при проверке прочности двутавровых балок.

Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений. Так называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке.