22. Элементы теории графов.

Теория графов – это раздел дискретной математики, изучающий свойства графов.

Граф – это пара множеств , гдеV – это подмножество любого счётного множества, а E – подмножество V*V.

Маршрутом в графе называется конечная последовательность , где– это вершины,– это ребра, причём ребросоединяет вершины.

Граф называется связным, если любые два элемента можно соединить маршрутом.

Маршрут, в котором первая и последняя вершина совпадают, а каждая из остальных встречается ровно один раз, называется циклом.

Связной граф без циклов называется деревом.

23. Сетевые модели.

Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов.

Сеть – это ориентированный конечный связной граф, имеющий начальную и конечную вершину. Т.о., сетевая модель представляет собой граф вида «сеть».

Дерево представляет собой связный граф без циклов, имеющий исходную вершину и крайние вершины, а пути от исходной вершины к крайним называются ветвями.

В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управлениями СПЦ.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель, в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающий процесс достижения определённой цели. Она может быть представлена в виде графиков или таблицы.

Основные понятия сетевой модели:

1. событие

2. работа

3. путь

Событие – это результат выполнения одной или нескольких работ. Событие совершается в то момент, когда оканчивается последняя из работ, входящих в него.

24. Деревья. Остовные деревья

Дерево – это связный ациклический граф.

Дерево – это связный граф без цикла.

Любой граф без цикла называется ….Ребра дерева называются ветвями. Конечные вершины т.е. вершины степени 1называются листья.

Ориентированный граф называется ориентированным деревом если существует ровно одна вершина называемая корнем, которая не имеет предшествующих, и любой вершины несовпадающих с корнем предшествует равно одна вершина.

В произвольном графе G=(V,E) можно выделить подграф G,т.е. G^’=(V,E^’), E^’ с E, который является деревом это дерево называется стягивающим или оставным.

Ребра которые не вошли в дерево называются хордами.

Теорема. Число деревьев в связном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кегрофа

25. Задача о построении линейного оставного дерева.

Алгоритм Краскал: в результате выполнения алгоритма строится оставное дерево с линейным весом:

1) имеем несвязный граф содержащий n-вершин.

2) упорядочиваем ребра графа в порядке не убывания весов.

3) начинаем с первого ребра, добавляем его в граф, соблюдая условие: ребро не должно давать цикл и иметь min вес из оставных ребер.

4) пункт 3 повторяем до тех пор, пока ребер не станет n-1.

26. Задача о нахождении кратчайшего пути в графе

Для связного неограниченного графа заданного весовой матрицей либо списком ребер с указанным их весом строится оставное дерево с минимальным суммарным весом.

Алгоритм:

1. Начинаем с несвязного графа G, содержащий n-вершин.

2. Упорядочивание веса по не убыванию.

3. Начинаем с первого ребра в этом перечне добавляем его в граф а соблюдая условие новое ребро не приводит к циклу и имеет минимальный вес среди оставшихся.

4. Удаляем рассмотренное ребро

5. Пункт 3,4 повторяем до тех пор, пока число ребер в графе Q не станет n-1