Задачи для самостоятельного решения
55. В каких точках
угловой коэффициент касательной к
кубической параболе
равен 3?
56. При каком значении
независимой переменной касательные к
кривым
и
параллельны?
57. Составить уравнение
касательной и нормали к линии
в точке с абсциссой
.
58. Составить уравнение
нормали к линии
в
точке с абсциссой
.
59. Найти угловой
коэффициент касательной к линии
,
в точке
.
60. Составить уравнение
касательной и нормали к линии
,
при
.
В следующих задачах найти углы, под которыми пересекаются линии.
61.
и
.
62.
и
.
63.
и
.
64. Сторона квадрата
увеличивается со скоростью
.
Какова скорость изменения периметра и
площади квадрата в тот момент, когда
его сторона равна
?
4.5. Дифференциал
Функция
называетсядифференцируемой
в точке
,
если ее приращение
в
этой точке может быть представлено в
виде
,
где
-
постоянная, не зависящая от
,
а
- бесконечно малая величина при
.
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
Дифференциалом
функции
в точке
называется главная линейная часть
приращения функции в точке
и обозначается
.
.
Свойства
дифференциала. Пусть
и
дифференцируемые функции. Тогда
справедливы равенства:
1.
,
с – постоянная. 2.
.
3.
.
4.
,
5. Пусть
сложная функция, образованная композицией
дифференцируемых функций
и
.
Тогда
.
Эти равенства выражаютсвойство
инвариантности формы первого дифференциала.
Г
еометрический
смысл дифференциала.
Д
Рис 1 
в точке
есть приращение ординаты касательной,
проведенной к графику функции в точке
,
при приращении аргумента равном
.
(Рис. 1).При
имеем
,
откуда получаем формулу приближенного вычисления значения функции в точке.
Пример. Найти
дифференциал функции
.
Перепишем функцию
в виде
.
Найдем
.
.
Тогда
.
Пример. Вычислить
приближенно
.
Выберем точку
и приращение
так, чтобы
был легко вычисляем, а
было мало в сравнении с
.
Пусть
,
.
Для функции
имеем:
,
,
.
Тогда
.
Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
Соответственно
дифференциал n-ого
порядка
,
.
Дифференциалы 2-го и более высоких порядков сложных функций не обладают свойством инвариантности.
Задачи для самостоятельного решения
Найти дифференциал функции:
65.
.
66.
.
67.
.
68.
.
69. Выразить дифференциал
сложной функции через независимую
переменную и ее дифференциал:
,
.
Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций:
70.
.
71.
.
72. Найти приближенное
значение приращения функции
при
изменении
от
до
.
Чему равен
?
73. Вычислить
приближенно: а)
;
б)
;
в)
.
74. Вычислить
приближенно:
.
75.
,
,
.
Выразить
через а)
и
,
б)
и
,
в)
и
.
4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля.
Пусть функция
непрерывна на
,
дифференцируема на
и
.
Тогда существует, по крайней мере, одна
точка
такая, что
.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
непрерывна на
,
дифференцируема на
.
Тогда существует, по крайней мере, одна
точка
такая, что
.
Теорема Коши. Пусть
функции
и
непрерывны на
,
дифференцируемы на
и
.
Тогда существует, по крайней мере, одна
точка
такая, что
.
Задачи для самостоятельного решения
76. Проверить
справедливость теоремы Ролля для функции
в интервале
.
77. Объяснить, почему
для функции
,
принимающей равные значения на концах
отрезка
,
не выполняется теорема Ролля.
78. Написать формулу
Лагранжа для функции
в интервале
.
79. Проверить
справедливость теоремы Лагранжа для
функции
в интервале
.
80. Записав формулу
Коши для
и
на отрезке
,
найти значение
.
81. Проверить
справедливость формулы Коши для функций
и
на отрезке
.
4.7 Правило Лопиталя - Бернулли
Правило Лопиталя
позволяет раскрывать неопределенности
типа
и
.
Теорема Лопиталя.
Пусть функции
и
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки
,
за исключением быть может самой точки
,
и пусть
в этой окрестности. Если функции
и
являются одновременно бесконечно малыми
при
(либо бесконечно большими при
)
и существует
,
то существует
и имеет место равенство:
=
Замечание.
Правило применимо и в случае, когда
.Если производные
и
удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя,
то к ним опять может быть применено это
правило.Предел отношения функций может существовать, но не вычисляться по правилу Лопиталя. Рассмотрим
.
Предел существует, так как
.
Однако для производных
и
предел при
не существует, и, следовательно, не
существует предел отношения этих
производных.
Пример. Найти
.
Имеем
.
Пример.
Найти
.
Применим правило
Лопиталя, предварительно заменив
на эквивалентную ей при
бесконечно малую функцию
.
применяя
правило Лопиталя)=
при
)=
.
Пример.
Найти
.
Имеем неопределенность
типа
.
“Перестроим” функцию:
применяем
правило Лопиталя)=
.
Пример.
Найти
.
Имеем неопределенность
типа
.
Логарифмируя функцию
,
получаем
.
,
применяем правило Лопиталя)=
==
,
еще раз применяем правило Лопиталя)=
=
=
=ln
2. Следовательно,
=
=
.