Глава 2. Предел функции
2.1. Предел функции. Основные понятия
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
за исключением быть может самой точки
.
Число A
называется пределом
в точке
и пишут
,
если для любого
существует
такое что, для любыхx
таких, что
выполняется
;
.
Число A
называется пределом
при
,
если для любого
существует число
такое, что для любыхx
таких, что
выполняется
.
Теорема 1. Пусть
и
.
Тогда выполняется:
а)
;
б)
;
в)
.
Неопределенностями
называются следующие предельные
выражения:
,
,
,
.Например,
запись
означает, что это есть предельное
выражение для функции
при стремлении
(т.е.
и
).
2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
При вычислении предела дробно-рациональной функции
в т.
применяется метод разложения многочленов
на множители.
Пример.
Вычислить предел
.
.
Вычисление предела
при
производится методом деления
и
на
,
где
.
Получаем
Пример.
Вычислить предел
.
Разделим числитель
и знаменатель дроби на
.
.
Метод деления на x в старшей степени применим и к пределам функций, содержащих иррациональные выражения.
Пример.
Вычислить
.
Старшая степень
x
в числителе – вторая у выражения
,
а в знаменателе также вторая при
произведенииx
на
.
Тогда
.
Часто при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, применяется метод перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.
Пример.
Вычислить
.
=
=
=
.
Пример.
Вычислить
.
=
=
=
=(делим
числитель и знаменатель наx)
=
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
,
(n
и m
– целые числа). 14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
Функция
называется
бесконечно малой при
(б.м.), если
.
Пусть
и
- б.м. при
.
Если
,
то
называетсябесконечно
малой более высокого порядка,
чем
и пишут
,
.
Если
,
то
и
называютсяб.м.
одного порядка малости. Если
,
то
и
называютсяэквивалентными
и это обозначается
при
.
Если существует числоk,
такое что
,
то
называется б.м. порядкаk
относительно
.
называется бесконечно большой (б.б.) при
,
если
.
Теорема.
- бесконечно малая при
- бесконечно большая при
.
Первый замечательный
предел – это
равенство
или иначеsin
x
~ x
при
.
Следующие б.м.
величины при
- эквивалентны:
x
~ sin
x
~ tg
x
~ arcsin
x
~arctg
x
~ (
)~ln(1
+ x);
1 – cos
x
~
,
~x
ln
a.
Если
,
б.м. при
и
,
,
то
и
.
Разность б.м. величин можно заменить в пределе на разность величин им эквивалентных, только если эти величины не эквивалентны между собой.
Пример.
Вычислить
.
tg
x
~ sin
x
при
,
следовательно нельзя заменитьtg
x
и sin
x
на x:
=
=
.
При вычислении пределов с использованием эквивалентных б.м. величин часто применяется метод замены переменной.
Пример.
Вычислить
.
=
замена
=
=
=
=
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
Определить порядок
относительно x
функции, бесконечно малой при
:
38.
.
39.
.
40.
.
41.
.
42.
.
Дана функция. Найти
ей эквивалентную вида
а) при
;
б) при
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
48.
.
49.
.