Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения данных функций:

1. . 2.. 3.. 4.,

5. . 6.. 7.. 8..

9. . 10..

11. . 12..

13. .

14. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x. Указать область определения этой функции.

15. Пусть функция f(u) определена при 0<u<1. Найти область определения функций: a) f (sin x), б) f (ln x).

16. Дано: ,. Выразитьy как функцию t.

17. Дано: . Выразитьu как функцию x.

Следующие сложные функции представить с помощью цепочек элементарных функций:

18. . 19.. 20.. 21..

20. . Найти: а), б), в),

г), д).

Написать в явном виде функцию , неявно заданную уравнениями:

23. . 24.. 25.. 26..

27. .

1.2. Некоторые типы функций

Ограниченные функции. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) в области D, если существует такое число M, что выполняется.

Функция f(x) называется ограниченной в D, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и N (M<N), что выполняется.

Пример. а) функция ограничена снизу на всей числовой оси, ибо для всякого числавыполняется, но не ограничена сверху.

б) функция не ограничена на всей числовой оси, но ограничена на, ибовыполняется, т.е. существуют числа,и такие, что.

в) функция ограничена на всей числовой оси, ибовыполняется.

Задачи для самостоятельного решения

Какие из функций ограничены сверху, ограничены снизу, ограничены, не ограничены?

28. . 29.. 30..

31. . 32.

33. .

Монотонные функции. Пусть: 1) функции f(x) определена в D; 2) приращение функции. Функцияf (x) называется монотонно возрастающей (убывающей) в D в строгом смысле, если для выполняетсяилиили, и называетсянеубывающей (невозрастающей), если илиили.

Пример. Доказать, что функция монотонно убывающая в интервале.

 . (2.1)

Так как , приимееми, следовательно,, то из (2.1) следует, чтоили, т.е.монотонно убывает в.

Пример. Исследовать на монотонность функцию ,,.

 .

, где .

.

а) Если , то,исохраняет знак, значитмонотонна в.

б) Если , то,исохраняет знак, значит,- монотонная функция в.

Отметим, что знаки совпадают в обоих интервалах.

Задачи для самостоятельного решения

Доказать, что указанные функции являются монотонно возрастающими (убывающими) в указанных промежутках.

34. . 35..

36. . 37..

38. .

Четные и нечетные функции. Функция , определенная в симметричном интервале, называетсячетной, если , инечетной, если .

Пример. а) ,, - функция- нечетная. б),,- функцияg(x) – четная.

Пример. Доказать, что всякую функцию, определенную в , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.



=, где,;

, значит, - четная,

, значит,- нечетная.

Задачи для самостоятельного решения

39. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными?

a), б), в), г),

д) , е), ж),

з) , и).

Представить в виде суммы четной и нечетной функций:

40. , 41..

42. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных – четная функция, произведение четной и нечетной – нечетная функция.

Периодические функции. Функция , определенная вD, называется периодической, если существует число T>0 такое, что выполняется

(2.2)

Наименьшее из T , для которых выполняется (2.2) называется периодом ; тогдаkT - период функции в широком смысле слова.

Пример. Найти, если существует, период функции ().

 Функция определена . По определению,- уравнение для определенияT; преобразуем его: . Так какx- любое из R, то последнее уравнение выполняется, если , отсюда,. Наименьшее (отличное от нуля)T получим при .

Функции имеют период, функции- период.

Теорема 1.1. Если функция , определенная вимеет период, а, определенная в- период, то: 1) определенная вфункциябудет периодической с периодомT, если отношение - рациональное число; 2) периодT – наименьшее общее кратное чисел .

Доказательство. 1) По определению (2.2):

, , (2.3)

где - целые.

Пусть функция - периодическая с периодомT, тогда по определению (2.2) , отсюда с учетом (2.3) следуетили. При целыхотношение- рациональное число.

2) Доказать самостоятельно.

Пример. Будет ли периодической функция ?

 Функции иопределеныи имеют периодыисоответственно. Тогдаy определена . Так как- иррациональное (трансцендентное) число, то функция- непериодическая.