5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a, b), если касательная расположена выше (ниже) графика функции.

Теорема 1. Пусть дважды дифференцируема на (a, b), тогдавыпуклая (вогнутая) на (a, b).

Точка называется точкой перегиба графика функции, если слева от этой точки график функции выпуклый (вогнутый), а справа – вогнутый (выпуклый).

Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Пусть - точка перегиба графика функции. Тогда илиилине существует.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть дважды дифференцируема в некоторой окрестности т.и либосуществует и конечна, либоне существует именяет знак при переходе через т.. Тогда- точка перегиба графика функции.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

 Область определения D(y)=R. Вычислим вторую производную.

.

.

Точки возможного перегиба :, т.к.ине существует и. Проверим смену знака:

- - + знак .

-6 0

Следовательно, точка перегиба графика одна – (0,0). Функция выпукла на интервале и вогнута на.

Задачи для самостоятельного решения

22. Показать, что график функции везде выпуклый.

23. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.

Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости для следующих функций.

24. . 25.26..

27. . 28.. 29..

30. .

5.4. Асимптоты графика функции

Пусть существует такая прямая, что расстояние до нее от точки графика функциистремится к нулю пристремящемся к бесконечности. Тогда прямая называетсяасимптотой графика функций. Прямая называетсявертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов: илиравен бесконечности.

Если существуют конечные пределы и, то прямаяестьнаклонная асимптота графика функции . Пределы могут не существовать или быть бесконечными прии существовать при(левая наклонная асимптота).

Если функция может быть представлена в виде, где- бесконечно малая при, тоесть наклонная асимптота.

Пример. Найти асимптоты графика функции .

 Найдем область определения функции: ,

, ( применить правило Лопиталя)=. Следовательно- вертикальная асимптота, ане является асимптотой. Проверим наличие наклонной асимптоты.,(, применим правило Лопиталя)=. Следовательно- наклонная асимптота.

Задачи для самостоятельного решения

Найти асимптоты графиков следующих функций:

31. . 32.. 33.. 34..

35. . 36.. 37.. 38..

5.5 Общая схема исследования функций.

Для построения графика функции нужно провести исследование по следующей схеме:

1. Область определения функции .

2. Четность, нечетность, периодичность. Точки пересечения графика с осями координат.

3. Нахождение точек из области определения, в которых либо , либоне существует.

4. Нахождение точек из области определения, в которых либо , либоне существует.

5. Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости графика по сводной таблице.

6. Асимптоты.

7. Построение графика.

Пример. Провести полное исследование функции и построить график.

 В соответствие со схемой имеем:

1. .

2. Функция общего вида. График проходит через точку (0,0).

3. . Точки возможного экстремума имеют абсциссы .

4. . Точка возможного перегиба имеет абсциссу x =0.

5. Результаты сводим в таблицу­

x		–3	(–3, –1)	(–1, 0)	0
	+	0	–	+	0	+
	–		–	-	0	+
y					0
		лок. max			перегиб

6. . Следовательно - вертикальная асимптота. Выделим целую часть.и так как- бесконечно малая при, то- наклонная асимптота.

7. Рисунок .