
- •Глава 1. Действительные функции одного переменного
- •1.1. Основные понятия и определения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Некоторые типы функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная функция
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 1:
- •Глава 2. Предел функции
- •2.1. Предел функции. Основные понятия
- •2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.4. Второй замечательный предел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 2:
- •Глава 3. Непрерывность функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 3:
- •Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций
- •Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке, а функцияимеет производную в точке. Тогда сложная функцияимеет производную в точкеи справедливо равенство;.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.5. Дифференциал
- •Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .
- •Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала, то естьи он обозначаетсяили.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.8. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 4:
- •Глава 5. Исследование функций с помощью производных
- •5.1. Возрастание и убывание функций
- •5.2. Точки экстремума функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.4. Асимптоты графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.5 Общая схема исследования функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 5:
Глава 1. Действительные функции одного переменного
1.1. Основные понятия и определения
1. Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.
2.
Для функций действительного переменного
их области определения D
и области значений E
принадлежат множеству действительных
чисел R.
Если обозначить функцию символом f,
а элементы D
и E-
символами x
и y
, то функция f
сопоставляет по определенному правилу
каждому элементу
единственное значение
,
что записывается в виде:
или
.
По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной — функцией. Иногда функцию обозначают тем же символом, что и значение и пишут y=y(x).
3. Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.
4.
Функция определена
для
,
если значениеf(x)
конечное и вещественное. Множество
значений x,
для которых функция определена, образует
область
определения
(область
существования)
.
В простейших случаяхD
есть открытый промежуток (интервал)
(a;b):
a <
x <
b,
или полуоткрытые промежутки [a,b): a
x <
b,
(a,b]:
a
< x
b,
или закрытый промежуток (отрезок,
сегмент) [a,b]:
a
x
b,
где a
и b-
некоторые числа или символы -
и +
(в последних случаях равенства
исключаются). Если функция задана
аналитически и об области определения
ничего не сказано, то ее считают множеством
всех чисел, при которых формула, задающая
значение функции, имеет смысл и называют
естественной
областью определения функции D(f).
5.
Множество всех значений, которые функция
принимает на элементах своей области
определения, есть область
значений
.
6.
Считая, что x
- некоторая точка М
числовой оси, а соответствующее значение
y=f(x)
– точка
другой
числовой оси, функцию называютотображением.
Тогда точка
-образ
точки М,
а точка М-
прообраз
точки
.
7.
Сложная функция.
Если функция y=f(u)
отображает область определения E
в область значений L,
а функция u=g(x)
отображает свою область определения D
в область значений
,
при этом
,
тогдасложная
функция
y=f(g(x)) (1.1)
отображает D
в L.
Запишем иначе: если
и
,
где
,
то сложная функция
(1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует
т.е. функция
реализует идею: “ применяйg,
затем применяй f
”.
8.
Неявная функция.
Пусть дано уравнение вида
и пусть существует такое множествоX,
что для каждого
существует по крайней мере одно числоy,
удовлетворяющее уравнению
.
Обозначим одно из таких чисел через
и поставим его в соответствие числу
.
В результате имеем функциюf
, определенную на множестве
X
и такую, что
для всех
.
В этом случае говорят, что функцияf
задается неявно
уравнением
.
Уравнение
может задавать не одну, а некоторое
множество неявно заданных функций.
9.Основные
элементарные функции:
постоянная y
= C
(C
– const);
степенная
;
показательная
(a
> 0); логарифмическая
,
(a
> 0,
);
тригонометрические
,
;
обратные тригонометрические
,
,
.
10. Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.
11. Классы элементарных функций.
1) Целые рациональные функции:
,
.
Сумма, разность и произведение целых
рациональных функций есть целая
рациональная функция.
2) Дробные
рациональные функции:
.
Заметим, что класс целых рациональных функций содержится в классе дробных рациональных функций.
3) Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида
,
где
-многочлены
относительноx;
при этом y
удовлетворяет определенным требованиям.
Классы 1), 2) содержатся в классе
алгебраических функций.
4)Трансцендентные функции – это всякие функции, не являющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными.
Пример.
Определить область определения
функций:
а)
;
б)
.
а) Так как функция
arcsinx
определена при
,
а функция lgx
– при x>0,
то x
должен удовлетворять нескольким условиям
одновременно, т.е.
получается пересечением множеств:
;
б)
Так как функция sinx
определена
,
lgx
– при x>0
и функция
определена
,
кромеx=0,
то
,
.
Находим односторонние пределы:
.
Поэтому
.
Пример.
Сложную функцию
представить цепочкой из основных
элементарных функций.
y
– “пятисложная” функция.
Пример.
Функция
задана
в неявном виде уравнением
.
Написать функцию в явном виде.
Решив уравнение
относительноy,
получим в явном виде две однозначные
функции
и
с одной и той же областью существования,
но с различными областями значений. Обе
они удовлетворяют исходному уравнению,
и выбор конкретной из них, если необходимо,
определяется из геометрических, или
физических, или иных соображений.