10.Решение уравнения Шрёдингера для кристаллов. Волновая функция электронов в кристалле. Зона Бриллюэна.

Волновая функция электрона в кристалле

В модели сильной связи волновую функцию электрона в кристалле можно представить как линейную комбинацию атомных функций : где r - радиус-вектор электрона, r_j - радиус-вектор j-ого атома решетки..Поскольку волновая функция коллективизированных электронов в кристалле должна иметь блоховский вид (2.1), то коэффициент С _{ j} при атомной функции на j-ом узле кристаллической решетки должен иметь вид фазового множителя , то есть Окончательно, волновая функция электрона в кристалле запишется в видеНа рисунке 30б представлен примерный вид волновых функций (их действительная часть) собственных состояний электронов каждого атома в случае, когда волновые функции электронов не перекрываются. При этом фазы волновых функций отдельных атомов произвольны. В случае перекрытия волновых функций и образования энергетических зон электрон описывается волновой функцией (3.11) в виде линейной комбинации атомных функций, фазы которых становятся скоррелированными блоховским множителем (рис.30в). Для случая (30в) внизу справа показано, что восьмикратное (для 8-ми изображенных на рисунке атомов) вырождение энергетического уровня, имеющее место в случае (30б), снимается. Можно убедиться, что волновая функция (3.11) действительно является блоховской (2.1), то есть при трансляции на периоды решетки только приобретает фазу, не изменяясь по амплитуде. Для этого запишем (3.11) в виде

(3.11а)

Покажем, что множитель при в (3.11а) обладает периодичностью решетки аналогично в (2.2). Заменяя r на (r+r_m) получим

Положив r_n =r_j -r_m и перейдя от суммирования по j к суммированию по n получим сумму, равную сумме в соотношении (3.11а):

Зона Бриллюэна — отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. В приближении волн Блоха волновая функция для периодического твёрдого тела полностью описывается её поведением в первой зоне Бриллюэна.Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни однойбрэгговской плоскости.Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1 брэгговскую плоскость. ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНАОпределённые точки высокой симметрии в зоне Бриллюэна получили специальные обозначения. Центр зоны Бриллюэна, то есть точка с нулевым значением квазиимпульса, обозначается греческой буквой Γ. Если электронные зоны в зонной структуре кристалла пронумерованы, то к букве добавляют индекс, который соответствует номеру зоны: Γ_1, Γ_{2 и} т.д.Точки на краю зоны Бриллюэна обозначаются латинскими буквами (X, L и т. д.), А прямые, которые ведут к ним, греческими буквами (Δ, Λ и т. д.). Конкретные обозначения зависят от строения зоны Бриллюэна для данной кристаллической решётки.Интересные особенности Несмотря на кажущуюся "математичность" и оторванность от реальной жизни данного понятия, зона Бриллюэна играет важнейшую роль в физике твёрдого тела: -В дифракции излучения: на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна. Вследствие существования периодичности кристаллической решётки и конкретно зоны Бриллюэна в кристалле возникают запрещённые и разрешённые энергетические состояния (см.зонная теория). Возникновение запрещённых зон связано с тем, что для электронных волн определённых длин на границе зоны Бриллюэна возникает условие брэгговского отражения, и электронная волна отражается от границы зоны. Физически это равносильно тому, что возникает стоячая волна, и, следовательно, групповая скорость данной электронной волны равна нулю. Таким образом возникает интервал запрещённых частот (энергий)

12. Энергетические зоны - совокупность возможных значений энергии валентных электронов в кристаллах. В результате сближения атомов на энергетической шкале вместо отдельных уровней появляются энергетические зоны, т. е. области таких значений энергии, которыми может обладать электрон, находясь в пределах твердого тела. Ширина зоны должна зависеть от степени связи электрона с ядром. Чем больше эта связь, тем меньше расщепление уровня, тем уже зона. В изолированном атоме имеются запрещенные значения энергий, которыми не может обладать электрон, в твердом теле могут быть запрещенные зоны. Энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру. Разрешенные энергетические зоны разделены запрещенными интервалами энергии. Ширина разрешенных энергетических зон не зависит от размера кристалла, а определяется лишь природой атомов, образующих твердое тело, и симметрией кристаллической решетки. Каждая зона состоит из множества энергетических уровней. Их количество определяется числом атомов, составляющих твердое тело, т. о. в кристалле конечных размеров расстояние между уровнями обратно пропорционально числу атомов. В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов, причем с противоположными спинами. Поэтому число электронных состояний в зоне оказывается конечным и равным числу соответствующих атомных состояний. Конечным оказывается и число электронов, заполняющих данную энергетическую зону.

Символом Ev обозначают верхнюю границу последней заполненной зоны, потолок валентной зоны, а символом Ec – нижнюю границу первой пустой зоны, дно зоны проводимости. Символом Eg = Ec - Ev обозначается ширина запрещённой зоны.