![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •78 Елементи диференціального числення Розділ 1. Математична обробка медико-біологічної інформації
- •Елементи диференціального числення
- •1.1.1.Похідна та диференціал функції
- •Геометричне тлумачення похідної і диференціала
- •Фізичне тлумачення похідної і диференціала
- •1.1.2. Основні правила диференціювання
- •1.1.3. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •1.1.4. Правило диференціювання складної функції
- •1.1.5. Похідні вищого порядку
- •1.1.6. Дослідження функцій на монотонність.Максимуми та мінімуми функцій
- •1.1.7. Випуклість та увігнутість графіка функції.Точки перегину
- •1.1.8. Побудова графіків функцій
- •1.1.9. Практичне заняття
- •1.1.10. Завдання для самостійної роботи
- •Функції декількох змінних
- •1.2.1. Частинні похідні і диференціали функції декількох змінних
- •1.2.2. Повний диференціал
- •1.2.3. Застосування диференціала функції для обчислення похибок
- •Правила визначення похибок
- •1.2.4. Практичне заняття
- •1.2.5. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи інтегрального числення
- •1.3.1. Первісна.Невизначений інтеграл
- •1.3.2. Властивості невизначеного інтегралу
- •1.3.3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •1.3.4. Основні методи інтегрування
- •1.3.5.Визначений інтеграл
- •1.3.6. Властивості визначеного інтеграла
- •1.3.7. Формула Ньютона–Лейбніца
- •1.3.8. Практичне заняття
- •1.3.9. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи теорії Звичайних диференціальних рівнянь
- •1.4.1. Поняття про диференціальні рівняння
- •1.4.2. Лінійні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •1.4.3. Диференціальні рівняння зі змінними,що розділяються
- •1.4.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- •1.4.5.Практичне заняття
- •1.4.6. Завдання для самостійної роботи
- •Основи теорії йМовірностей та математичної статистики
- •1.5.1. Класифікація явищ.Частота та ймовірність події
- •1.5.2. Теорема додавання ймовірностей
- •1.5.3. Теорема множення ймовірностей
- •1.5.4. Формула повної ймовірності.Формули Байєса
- •1.5.5. Повторні випробування. Формула Бернуллі
- •1.5.6. Випадкова величина,дискретні та неперервні випадкові величини
- •1.5.7. Інтегральна та диференціальна функції розподілу
- •1.5.8. Основні кількісні характеристики розподілу випадкових величин
- •1.5.9. Основні закони розподілу випадкових величин
- •1.5.10. Кореляційна залежність
- •1.5.11. Практичне заняття
- •1.5.12. Завдання для самостійної роботи
Правила визначення похибок
Обчислювана величина |
Абсолютна похибка,
|
Відносна похибка,
|
u = x y |
|
|
u = x y |
|
|
|
|
|
u = xn |
|
|
|
|
|
Як видно з таблиці, у ряді випадків при розрахунках зручніше спочатку обчислювати відносну похибку, а потім абсолютну, користуючись співвідношенням:
.
Для знаходження похибок у випадках,
які не представлені
у таблиці, спочатку знаходять повний
диференціал функції, а потім, скориставшись
наближеною рівністю,
знаходять абсолютну похибку. Знаки в
доданках при цьому вибирають таким
чином, щоб похибка була максимальною.
1.2.4. Практичне заняття
Приклад 1. Знайти
частинні похідні функції:
.
Розв’язок. Розглядаючиyяк постійну величину, знайдемо частинну похідну функціїz(x, y) за змінноюx
.
Аналогічно знайдемо частинну похідну за змінною y,при цьому зміннуx вважатимемо константою
.
Приклад 2.При лікуванні деякого захворювання одночасно використовують два препарати. Реакціяu(подана у відповідних одиницях деякого фізіологічного параметра) наxодиниць першого препарату таy одиниць другого має залежність:
.
Яка кількість другого препарату y викликає максимальну реакцію при фіксованій дозі першого?
Розв’язок. Знайдемо частинну похідну
.
Прирівнявши її до нуля, знайдемо критичні
точки: ,
y
=
0,
x
=
a,
y
=
.
Змісту даної задачі відповідає лишеy
=
.
Легко переконатись, що при вказаному
значенніуфункція має максимум, оскільки при
переході через цю точку в напрямку
зростанняузнак похідної змінюється
з “+”на “–“.
Приклад 3.Знайти повний диференціал функції трьох незалежних змінних
.
Розв’язок.Вважаючи сталимиyіz,
знаходимо частинну похідну
функції за зміннимиx,
yіz:
;
;
.
Повний диференціал функції знаходимо, користуючись формулою (1.12). В результаті маємо
d
Мал.
1.9.
.
Приклад 4.Знайти градієнт
функціїу точціА(1;
1).
Розв’язок.Знайдемо частинні похідні за зміннимихтаyі обчислимо їх значення у точціА(1; 1):
,
;
,
.
Таким чином, згідно з (1.13),
причому градієнт має своїм початком
точкуА(1;
1)
(мал. 1.9).
Приклад 5.Знайти формулу для відносної похибки при обчисленні об’єму конуса, якщо вимірюються його лінійні розміри.
Розв’язок.Об’єм конусаV = (1/3)R2H. Абсолютна похибкаΔVможе бути замінена повним диференціалом:
ΔV dV = (1/3) (2RHdR + R2dH).
Враховуючи, що VdV/V, знайдемо відносну похибку:
.
1.2.5. Завдання для самостійної роботи
Реакція на ін’єкцію лікарського препарату масою m (мг) описується функцією
,
де t –час, поданий у годинах;y – деякий фізіологічний параметр;a = const. Знайти частинні похідні. Через який проміжок часу після ін’єкції реакція буде максимальною при заданій дозі препарату?
Знайти частинні похідні функцій:
2.
|
10. u = (xy)z |
3.
|
11. u = zxy |
4.
|
12.
|
5.
|
13. u = ln(x2y) |
6.
|
14. u = ex ln y |
7.
|
15. z = y ln x |
8.
|
16. u = x tg y |
9.
|
17.
u
=
|
Знайти повні диференціали функцій:
18.
|
19.
|
20. z = x2y3 |
21.
|
22.
|
23.
|
24. z = sin2y + cos2x |
25. z = yxy |
26.
z
=
arcsin |
27.
|
28.
|
29. u = z x y |
30. z = ln(x2+y2) |
31.
u
=
arctg |
32. z = lncos3(x2y3) z = x3 + y3 – 3xy |
Знайти градієнти функцій:
gradz в точці (5; 3), якщо
.
gradz в точці (1; 1), якщо
.
Показати, що відносна похибка в 1% при визначенні довжини радіуса дає відносну похибку приблизно в 2% при обчисленні площі кола і поверхні кулі.
Знайти вираз для відносної похибки величини
, якщоx i y знаходяться безпосередньо.