![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •78 Елементи диференціального числення Розділ 1. Математична обробка медико-біологічної інформації
- •Елементи диференціального числення
- •1.1.1.Похідна та диференціал функції
- •Геометричне тлумачення похідної і диференціала
- •Фізичне тлумачення похідної і диференціала
- •1.1.2. Основні правила диференціювання
- •1.1.3. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •1.1.4. Правило диференціювання складної функції
- •1.1.5. Похідні вищого порядку
- •1.1.6. Дослідження функцій на монотонність.Максимуми та мінімуми функцій
- •1.1.7. Випуклість та увігнутість графіка функції.Точки перегину
- •1.1.8. Побудова графіків функцій
- •1.1.9. Практичне заняття
- •1.1.10. Завдання для самостійної роботи
- •Функції декількох змінних
- •1.2.1. Частинні похідні і диференціали функції декількох змінних
- •1.2.2. Повний диференціал
- •1.2.3. Застосування диференціала функції для обчислення похибок
- •Правила визначення похибок
- •1.2.4. Практичне заняття
- •1.2.5. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи інтегрального числення
- •1.3.1. Первісна.Невизначений інтеграл
- •1.3.2. Властивості невизначеного інтегралу
- •1.3.3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •1.3.4. Основні методи інтегрування
- •1.3.5.Визначений інтеграл
- •1.3.6. Властивості визначеного інтеграла
- •1.3.7. Формула Ньютона–Лейбніца
- •1.3.8. Практичне заняття
- •1.3.9. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи теорії Звичайних диференціальних рівнянь
- •1.4.1. Поняття про диференціальні рівняння
- •1.4.2. Лінійні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •1.4.3. Диференціальні рівняння зі змінними,що розділяються
- •1.4.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- •1.4.5.Практичне заняття
- •1.4.6. Завдання для самостійної роботи
- •Основи теорії йМовірностей та математичної статистики
- •1.5.1. Класифікація явищ.Частота та ймовірність події
- •1.5.2. Теорема додавання ймовірностей
- •1.5.3. Теорема множення ймовірностей
- •1.5.4. Формула повної ймовірності.Формули Байєса
- •1.5.5. Повторні випробування. Формула Бернуллі
- •1.5.6. Випадкова величина,дискретні та неперервні випадкові величини
- •1.5.7. Інтегральна та диференціальна функції розподілу
- •1.5.8. Основні кількісні характеристики розподілу випадкових величин
- •1.5.9. Основні закони розподілу випадкових величин
- •1.5.10. Кореляційна залежність
- •1.5.11. Практичне заняття
- •1.5.12. Завдання для самостійної роботи
1.1.10. Завдання для самостійної роботи
Знайти похідні функцій:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
31.
|
32.
|
33.
|
34.
|
35.
|
36.
|
37.
|
38.
|
39.
|
40.
|
41.
|
42.
|
43.
|
44.
|
45.
|
46.
|
47.
|
48.
|
49.
|
50.
|
51.
|
52.
|
53.
|
54.
|
55.
|
56.
|
57.
|
58.
|
59.
|
60.
|
61.
|
62.
|
63.
|
64.
|
Знайти похідні другого порядку від функцій:
67.
|
68.
|
69.
|
70.
|
71.
|
72.
|
73.
|
74.
|
Знайти диференціали функцій:
75.
|
76.
|
77.
|
78.
|
79.
|
80.
|
81.
|
82.
|
83.
|
84.
|
85.
|
86.
|
87.
|
88.
|
89.
|
90.
|
Рівняння руху точки вздовж осі ОХ має вигляд:
.
Знайти швидкість і прискорення в моменти часу t0 = 0,t1 = 1, t2 = 10.
При якій концентрації кисню реакція окислення
2 NO + O2 = 2 NO2
відбувається з
найбільшою швидкістю? Швидкість реакції
визначається за формулою
,
деx– концентрація кисню в %,h– константа.
Психофізичний закон Вебера–Фехнера відображає залежність гучності L від інтенсивності звуку I: L = k lg
. Побудувати графік залежності L(I) та L'(I) .
Дослідити на екстремум функції:
94.
|
95.
|
96.
|
97.
|
98.
|
99.
|
Функції декількох змінних
1.2.1. Частинні похідні і диференціали функції декількох змінних
Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залежності, що існують у природі. У багатьох прикладних задачах доводиться мати справу з функціями декількох зміннихy = f (x, t)абоu = f (x, y, z, t). Наприклад, чисельність популяції бактерій є функцією часу, температури і концентрації поживних речовин. Зменшення кров’яного тиску залежить від кількості введеного лікарського препарату, маси тіла пацієнта, часу тощо.
Для cпрощеннярозглядатимемо функцію двох незалежних зміннихz = f (x, t). Способи задання функції двох змінних, як і у випадку однієї змінної, можуть бути різними. Ми найчастіше будемо використовувати аналітичний спосіб задання. Областю визначення функції у цьому випадку вважається множина всіх точок площини, для яких формула має зміст. Зафіксуємо t = t0, тодіz– функція лише однієї змінноїx. Її прирістΔzдорівнює:
Δz = f (x0 + Δx, t0) – f (x0, t0).
Утворимо відношення
та знайдемо границю цього відношення
при
.
Ця величина називається частинною похідноювід функціїz = f (x, t)за змінноюx у точці(x0, t0). Відповідно, частинна похідна по зміннійtу цій точці дорівнює:
.
Будемо вважати, що функція z
= f (x,
t)має частинну похіднув околі деякої точкиМ. Якщо при
цьому існує частинна похідна поtвід
,
то її називаютьзмішаною
частинноюпохідноюв точціМ:
.
Справедливе співвідношення:
.
Якщо похідну беруть двічі по одній і тій же змінній, то її позначають:
.