- •78 Елементи диференціального числення Розділ 1. Математична обробка медико-біологічної інформації
- •Елементи диференціального числення
- •1.1.1.Похідна та диференціал функції
- •Геометричне тлумачення похідної і диференціала
- •Фізичне тлумачення похідної і диференціала
- •1.1.2. Основні правила диференціювання
- •1.1.3. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •1.1.4. Правило диференціювання складної функції
- •1.1.5. Похідні вищого порядку
- •1.1.6. Дослідження функцій на монотонність.Максимуми та мінімуми функцій
- •1.1.7. Випуклість та увігнутість графіка функції.Точки перегину
- •1.1.8. Побудова графіків функцій
- •1.1.9. Практичне заняття
- •1.1.10. Завдання для самостійної роботи
- •Функції декількох змінних
- •1.2.1. Частинні похідні і диференціали функції декількох змінних
- •1.2.2. Повний диференціал
- •1.2.3. Застосування диференціала функції для обчислення похибок
- •Правила визначення похибок
- •1.2.4. Практичне заняття
- •1.2.5. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи інтегрального числення
- •1.3.1. Первісна.Невизначений інтеграл
- •1.3.2. Властивості невизначеного інтегралу
- •1.3.3. Таблиця найпростіших інтегралів
- •1.3.4. Основні методи інтегрування
- •1.3.5.Визначений інтеграл
- •1.3.6. Властивості визначеного інтеграла
- •1.3.7. Формула Ньютона–Лейбніца
- •1.3.8. Практичне заняття
- •1.3.9. Завдання для самостійної роботи
- •Елементи теорії Звичайних диференціальних рівнянь
- •1.4.1. Поняття про диференціальні рівняння
- •1.4.2. Лінійні диференціальні рівняння
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •1.4.3. Диференціальні рівняння зі змінними,що розділяються
- •1.4.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- •1.4.5.Практичне заняття
- •1.4.6. Завдання для самостійної роботи
- •Основи теорії йМовірностей та математичної статистики
- •1.5.1. Класифікація явищ.Частота та ймовірність події
- •1.5.2. Теорема додавання ймовірностей
- •1.5.3. Теорема множення ймовірностей
- •1.5.4. Формула повної ймовірності.Формули Байєса
- •1.5.5. Повторні випробування. Формула Бернуллі
- •1.5.6. Випадкова величина,дискретні та неперервні випадкові величини
- •1.5.7. Інтегральна та диференціальна функції розподілу
- •1.5.8. Основні кількісні характеристики розподілу випадкових величин
- •1.5.9. Основні закони розподілу випадкових величин
- •1.5.10. Кореляційна залежність
- •1.5.11. Практичне заняття
- •1.5.12. Завдання для самостійної роботи
1.2.2. Повний диференціал
Розглянемо u = f (х, y, z)– функцію трьох незалежних змінних, яка є визначеною і диференційованою у деякому інтервалі. Головна, лінійна відносноΔх, Δy, Δz, частина приросту функції називається повним диференціалом du функції трьох змінних:
. (1.12)
Інакше кажучи, повний диференціал функції дорівнює сумі її частинних диференціалів.
При вивченні поведінки функції у даній точці простору особливий інтерес у фізиці становить питання про напрямок максимального зростання функції у даній точці. Вектор, модуль якого дорівнює найбільшій швидкості зростання функціїu = f (х, у, z) у даній точціР, а напрям збігається з напрямком максимального зростання, називаєтьсяградієнтом функції. Градієнт має своїм початком точкуР, а своїми проекціями – значення частинних похідних функціїu(х, у, z)в точціР
, (1.13)
де – одиничні вектори осейOX,OYіOZвідповідно.
Особливостями градієнта користуються для знаходження екстремумів функцій декількох змінних.
1.2.3. Застосування диференціала функції для обчислення похибок
Коротко нагадаємо, що вимірювання бувають прямі і непрямі (опосередковані). У прямих вимірюваннях визначається сама шукана величина: температура – термометром, маса – терезами, час – секундоміром тощо. У непрямих вимірюваннях шукана величина знаходиться шляхом розрахунку за іншими вимірюваними величинами. Наприклад, густина– розраховується, масаmi об’ємV– вимірюються. Прискорення– розраховується за виміряними силоюFi масоюm.
Точність вимірювання характеризується похибкою. Абсолютна похибка – це різниця між вимірюванимxiтаточним значенням x0 величини
Δxi = xi – x0 (i = 1, 2, ... n).
Відносна похибка– відношення абсолютної похибки до точного (істинного) значення вимірюваної величини:.
Розрізняють три типи похибок: а) випадкові, б) систематичні, в) промахи.Випадкові похибки– це такі, які непередбачено змінюють свою величину та знак від досліду до досліду. Систематичні похибки – ті, які залишаються постійними або закономірно змінюються при повторному вимірюванні, зберігаючи свій знак, а, інколи, і величину. Причини: неточність мір та приладів, неправильне встановлення та градуювання приладів, недосконалість методів вимірювання.Промахи– грубі похибки, які значно перевищують очікувані за даних умов. Причини: халатність підрахунку, неправильне увімкнення приладів тощо.
Обмежимось розглядом випадкових похибок. Оскільки точне значення x0невідоме (якщо воно відоме, то нічого вимірювати), то заx0приймають найчастіше середнє арифметичне значенняx:
.
Середня абсолютна похибка
дорівнює середньому арифметичному значенню абсолютних похибок окремих вимірювань.
У деяких випадках використовують середньоквадратичну абсолютну похибкута– дисперсію випадкових величин або математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
.
Для знаходження похибок використовують метод заміни приросту функції її диференціалом.
Приклад.Припустимо, що величинаu, яка обчислюється, є добутком двох вимірюваних величинxтаy:. У такому випадку повний диференціал.
Скориставшись наближеною рівністю , матимемо: .
Розділивши ліву і праву частини на u = x y, матимемо:
, або.
Таким чином, для функції, яка являє собою добуток двох або більше вимірюваних величин, максимальна відносна похибка дорівнює сумі максимальних відносних похибок. На практиці часто при обчисленні похибок користуються готовими формулами. Деякі з них наведені в таблиці.