5. Основи теорії йМовірностей та математичної статистики

1.5.1. Класифікація явищ.Частота та ймовірність події

Багато явищ живої та неживої природи є недетерміно­вани­ми, тобто такими, що їх кінцевий результат неможливо передбачити однозначно. Такі явища (їх у теорії ймовір­нос­тей називаютьподія­ми)часто зустрічаються у повсякден­ному житті і мікросвіті, їх роль чимала і у медико-біологіч­них системах. Події можна поділити на три типи:

достовірні– ті, які відбуваються завжди, незалежно від умов, в яких вони спостерігаються;

неможливі– ті, які ніколи не мають місця;

випадкові(стохастичні) – ті, які можуть виникати або не виникати при виконанні певного комплексу умов.

Теорія ймовірностей займається вивченням закономір­нос­тей випадкових подій при їх масовій появі.

Випадкові події підрозділяються на: несумісні– ті, які не можуть реалізуватися одночасно;незалежні – ті, що ніяк не пов’язані між собою;залежні – ті, протікання яких взаємо­обумовле­не, тобто поява однієї події впливає на реалізацію іншої.

Для випадкових подій вводиться поняття частоти події– це відношення числа випробувань (дослідів, спосте­режень), в яких дана подія реалізується, до повного числа випробувань:

 , (1.24)

де m(A) – число дослідів, в яких подіяAреалізується, n– повне число дослідів.

Якщо число випробувань велике, то, як правило, часто­ти появи подійАв різних серіях дослідів мало відрізня­ються одна від одної, і їх відмінність тим менша, чим більше випробувань у серії. Тобто, частота події при вели­ко­му числі випробувань втрачає випадковий характер.

Ймовірністю P(A) випадкової події A називається границя, до якої наближається частота події A при не­обме­женому зростанні повного числа випробувань, тобто

. (1.25)

У теорії ймовірностей існує теорема Бернуллі, яка дово­дить, що при великому, але скінченному числі випробуваньnчастота події(A)збігається з імовірністю P(A).

Ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну не­рів­ність

,

причому ймовірність неможливої події дорівнює нулю, а достовірної – одиниці.

1.5.2. Теорема додавання ймовірностей

Введемо поняття об’єднання(суми) двох і більше ви­пад­кових подій.Об’єднання двох випадкових подійA₁iA₂–це така подіяA,за якої відбувається хоча б одна з цих подій, тобтоA₁абоA₂.

Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій: ймовірність об’єднання двох випадкових несуміс­них подій дорівнює сумі ймовірностей кожної події окремо, тобто

P (A₁ або A₂) = P(A₁A₂) = P(A₁) + P(A₂).

Якщо в результаті досліду обов’язково повинна реалізу­ва­тись одна із подійА₁, А₂, ..., А_nі ніяка інша подія реалізу­ва­тись не може, то говорять, що ці події утворюютьповну групу.

Якщо для деякої події Асприятливими є всіnвипадків, котрі утворюють повну групу несумісних подій, то ймовір­ність такої події:

P(A) = P(A₁) + P(A₂) + ... + Р(А_n) = 1.

І

Мал. 1.12.

ншими словами, поява хоч однієї із подій, що утворюють пов­ну групу, єдостовірною подією. Остан­ню рівність часто записують у вигля­ді:

і називають умовою нормування.

Дві події Аіназиваються проти­леж­ними, якщо вони несумісні і утво­рюють повну групу. Згідно з теоремою додавання ймовірностей

Р(А) + Р() = 1,

тобто сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

Випадкові події АіВназиваютьсясумісними, якщо в результаті випробування можуть відбутись обидві ці події.

Теорема додавання ймовірностей для сумісних подіймає вигляд

P

Мал. 1.13.

(A₁ або A₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁ i A₂),

де Р(А₁ і А₂) – ймовірність су­мі­щення подійA₁ i A₂; зміст цього виразу пояс­ню­ється нижче. Спра­вед­ли­вість наве­де­­них формул проілюструємо графічно (для несумісних по­дій мал. 1.12, для сумісних – мал. 1.13). Об’єднання подій ха­рак­теризується всією за­штри­хо­ваною площею.