1.3.6. Властивості визначеного інтеграла

1. Постійний множник можна виносити за знак інтег­рала:

.

2. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі визна­че­них інтегралів від доданків:

.

3. Якщо відрізок [a, b] = [a, c] + [c, b], то

.

4. Теорема про середнє. Якщо функціяf (x)неперервна на[а, b], то у межах[а, b]існує точкастака, що

.

Геометричний зміст цієї теореми: площу криволінійної трапеції можна виразити через площу прямокутника з тією ж основою, що й трапеція, і стороною, яка дорівнює значен­ню підінтегральної функ­ції при деякому проміжному зна­чен­ні аргументу.

5. При перестановці меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний

.

Цю властивість легко зрозуміти, якщо скористатись тео­ре­мою про середнє та взяти до уваги, що(b – а) = – (а – – b).

6. Якщо межі інтегрування нескінченно мало відрізня­ють­ся одна від одної, то

.

7. Похідна по xвід інтеграла зі змінною верхньою межеюxдорівнює підінтегральній функції при значенні змінної, рівна значенню верхньої межі(t = x):

,

якщо підінтегральна функція не залежить від x.

Таким чином, інтеграл зі змінною верхньою межею є однією із первісних для підінтегральної функції.

1.3.7. Формула Ньютона–Лейбніца

Знаючи, що , знайдемоС. Прийнявших = а, матимемо. ЗвідсиF(a) + C = 0, тобтоC = = – F(а) . Отже,

.

Перейдемо до означеного інтеграла, прийнявши х = b. Оста­точ­но будемо мати

. (1.15)

Ця формула називається формулою Ньютона–Лейбні­ца.

Таким чином, задача обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження первісної (тобто невизначеного інтегра­ла); потім потрібно обчислити значення первісної прих = bіх = ата знайти різницю цих значень.

Приклад. У деяких діагностичних методиках корис­тують­ся пре­па­ра­тами з ізотопними індикаторами. Швид­кість зміни концентраціїСтакого препарату в організмі з плином часу описується законом:

,

де K– константа в умовах експерименту. Знайти концентра­цію препарату в момент часуt = 0.5год.

Розв’язок.Шукана концентрація визначається інтегра­лом

.

Знайдемо первісну і скористаємось формулою Ньютона – Лейбніца (1.15). Звідси матимемо

C= – K(e^–0.5 –e⁰) =K(1 – ).

1.3.8. Практичне заняття

Приклад 1. Обчислити невизначений інтеграл

.

Розв’язок.Використовуючи властивості 1 і 2 невизначе­ного інтеграла, даний інтеграл можна записати у вигляді:

.

Використавши формулу 1 з таблиці невизначених інтегра­лів, отри­ма­ємо

.

Приклад 2.Обчислити інтеграл.

Розв’язок.Припустивши, щоt = sinx, знайдемо dt = ,і підінтегральний вираз можна перетворити до виг­ля­ду:sin²xcos xdx = t²dt.

Отже, .

Приклад 3.Обчислити інтеграл.

Розв’язок.Обчислимо цей інтеграл методом інтегруван­ня по частинах (1.14). Запишемо підінтегральну функцію у вигляді добутку двох співмножників – функціїu = lnx idυ = x³dx. Тоді. Використавши формулу (1.14), отримаємо:

1.3.9. Завдання для самостійної роботи

Користуючись табличними інтегралами і перетворюючи належ­ним чином підінтегральні вирази, знайдіть:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.

Знайти інтеграли методом заміни змінної:

17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Знайти інтеграли методом інтегрування по частинах:

31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.

Використовуючи формулу Ньютона–Лейбніца, обчислити визна­чені інтег­ра­ли:

41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.

Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

55. ; x = 1; x = 3 і віссю абсцис.

21. і віссю абсцис.

22. y = sin x; x = 0; .

23. y = tg x; і віссю абсцис.

24. y = x²; y = 2 – x².

25. y = lnx; y = 0; x = 0.

26. y = e – x; y = 0; x = 1; x = 2.

27. y = 2^x; y = 2; x = 0.

28. y = 2x – x²; y = x.

29. y = x³; x = 2; x = 3.

30. Знайти приріст чисельності популяції за проміжок часу від t₁ до t₂, якщо швидкість приросту визначається формулою V(t) = Се^kt, де С і k – величини сталі в умовах задачі.

31. Знайти об’єм рідини Q, яка протікає по трубі радіусом R за 1 с. Залежність швидкості рідини від відстані до осі труби r задаєть­ся формулою:

.

Примітка.– величина стала в умовах задачі.