АиГ / тема 1

Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Тема 1. Система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении – 2 ч.

Содержание: декартовые прямоугольные координаты на плоскости, полярные координаты; направленный отрезок; проекция отрезка на произвольную ось и на координатные оси; деление отрезка в данном отношении.

Цель: дать понятие системы координат на плоскости; научить применять метод координат при решении различных задач.

Форма контроля: опрос.

Задачи

В задачах 10-19, 25 предполагается, что на плоскости выбрана полярная система координат. В остальных задачах используется ортонормированная система координат Oxy.

Задача 1 ([8], 17). Построить точки , , , , , .

Задача 2 ([8], 18). Найти координаты проекций на ось абсцисс точек , , , , .

Задача 3 ([8], 19). Найти координаты проекций на ось ординат точек , , , , .

Задача 4 ([8], 20). Найти координаты точек, симметричных относительно оси Ox точкам 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Задача 5 ([8], 21). Найти координаты точек, симметричных относительно оси Oy точкам 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Задача 6 ([8], 22). Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Задача 7 ([8], 23). Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы первого координатного угла точкам

1) ; 2) ; 3) .

Задача 8 ([8], 24). Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам

1) ; 2) ; 3) .

Задача 9 ([8], 25). Определить, в каких четвертях может быть расположена точка , если: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Задача 10 ([8], 26). Построить точки, заданные полярными координатами: , , , , и (для точек , и выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).

Задача 11 ([8], 27). Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам , , , и , заданным в полярной системе координат.

Задача 12 ([8], 28). Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам , , , и , заданным в полярной системе координат.

Задача 13 ([8], 29). В полярной системе координат даны две вершины и параллелограмма , точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины параллелограмма.

Задача 14 ([8], 39). Одна из вершин треугольника находится в полюсе, две другие суть точки и . Вычислить площадь этого треугольника.

Задача 15 ([8], 40). Одна из вершин треугольника находиться в полюсе , две другие суть точки и . Вычислить площадь этого треугольника.

Задача 16 ([8], 41). Вычислить площадь треугольника, вершины которого , и заданы в полярных координатах.

Задача 17 ([8], 42). Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки , , , , , . Определить декартовы координаты этих точек.

Задача 18 ([8], 43). Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки , , , , . Определить полярные координаты этих точек.

Задача 19 ([8], 44). Вычислить проекцию отрезка на ось , если даны его длина и угол наклона к оси:

1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , .

Задача 20 ([8], 45). Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси:

1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , .

Задача 21 ([8], 46). Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку , зная их проекции на координатные оси:

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , .

Задача 22 ([8], 47). Даны точки , , , , . Найти проекции на координатные оси следующих отрезков: 1) , 2) , 3) , 4) .

Задача 23 ([8], 48). Даны проекции отрезка на оси координат , ; зная, что его начало в точке , найти координаты его конца.

Задача 24 ([8], 49). Даны проекции отрезка на оси координат , ; зная, что его конец в точке , найти координаты его начала.

Задача 25 ([8], 50). Построить на чертеже отрезок, имеющий началом точку , зная его длину и полярный угол , если:

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Задача 26 ([8], 62). Даны две точки и . Найти проекцию отрезка на ось, проходящую через точки , и направленную: 1) от к , 2) от к .

Задача 27 ([8], 63). Даны точки , , , и . Определить расстояние между точками:

1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) и .

Задача 28 ([8], 64). Даны две смежные вершины квадрата и . Вычислить его площадь.

Задача 29 ([8], 65). Даны две противоположные вершины квадрата и . Вычислить его площадь.

Задача 30 ([8], 66). Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть и .

Задача 31 ([8], 67). Даны три вершины , , параллелограмма , четвёртая вершина которого противоположна . Определить длину диагоналей этого параллелограмма.

Задача 32 ([8], 90). Точки , и являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.

Задача 33 ([8], 96). Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения со стороной биссектрисы его внутреннего угла при вершине .

Задача 34 ([8], 106). Даны вершины четырёхугольника , , , . Определить, в каком отношении его диагональ делит диагональ .

Задача 35 ([8], 108). Даны вершины однородной треугольной пластинки , , . Определить её координаты центра тяжести. Указание: центр тяжести находиться в точке пересечения медиан.

Задача 36 ([8], 109). Точка пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его — точки и , третья вершина лежит на оси ординат. Определить координаты точек и .

Задача 37 ([8], 110). Даны вершины однородной треугольной пластинки , , . Если соединить середины её сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести обеих пластинок совпадают. Указание. Воспользоваться результатом задачи 35.

Тема 1. Система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

Ответы

Задача 1.

Задача 2. , , , , .

Задача 3. , , ; , .

Задача 4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Задача 6. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) .

Задача 7. 1) ; 2) ; 3) .

Задача 8. 1) ; 2) ; 3) .

Задача 9. 1) В первой и третьей; 2) во второй и четвёртой;

3) в первой и третьей; 4) во второй и четвёртой; 5) в первой, второй и четвёртой; 6) во второй, третьей и четвёртой; 7) в первой, третьей и четвёртой; 8) в первой, второй и третьей.

Задача 10.

Задача 11. , , , , .

Задача 12. , , , , .

Задача 13. и .

Задача 14. .

Задача 15. 5 кв. ед.

Задача 16. кв. ед.

Задача 17. , , , , , .

Задача 18. , , , , .

Задача 19. 1) 3; 2) –3; 3) 0; 4) 5; 5) –5; 6) 2.

Задача 22. 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , .

Задача 23. (3; –1).

Задача 24. (–3; 2).

Задача 26. 1) –5; 2) 5.

Задача 27. 1) 5; 2) 10; 3) 5; 4) ; 5) 2; 6) 13.

Задача 28. 137 кв. ед.

Задача 29. 34 кв. ед.

Задача 30. кв. ед.

Задача 31. 13 и 15.

Задача 32. (1;–3), (3; 1) и (–5; 7).

Задача 33. (5/2; –2).

Задача 34. 1 : 3, считая от точки B.

Задача 35. .

Задача 36. , .