АиГ / Тема 5

Курс “Алгебра и Геометрия”

(специальность прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Тема 5. Векторное и смешанное произведения. – 4 часа.

Содержание: вычисление векторного и смешанного произведения; геометрический смысл векторного и смешанного произведений; свойства этих произведений; применение.

Цель: выработать навыки вычисления векторного и смешанного произведений и применения их при решении геометрических задач.

Форма контроля: опрос.

Задачи

Задача 1 ([9], 1062). Упростить произведения , и , зная, что , и — взаимно перпендикулярные орты, образующие правую тройку.

Задача 2 ([9], 1063). Решить задачу 1 в предположении, что орты , и образуют левую тройку.

Задача 3 ([9], 1064). При каком значении коэффициента векторы и окажутся коллинеарными, если и не коллинеарны?

Задача 4 ([9], 1071). Проверить, имеют ли место в векторной алгебре тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 5 ([9], 1073). Вычислить скаляр .

Задача 6 ([9], 1074). Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где и — еди­ничные взаимно перпендикулярные векторы.

Задача 7 ([9], 1075). Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , и .

Задача 8 ([9], 1076). Зная две стороны треугольника и , вычислить длину его высоты при условии, что и — перпендикулярные друг другу орты.

Задача 9 ([9], 1077). Разложить вектор по взаимно перпендикулярным ортам , , , образующим правую тройку.

Задача 10 ([9], 1078). Дан вектор , где , , — взаимно перпендикулярные орты, образующие левую тройку. Вычислить его длину.

Задача 11 ([9], 1079). Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на данных векторах и , где , и — взаимно перпендикуляр­ные орты.

Задача 12 ([9], 1080). Вычислить проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора , если , и — взаимно перпендикулярные орты.

Задача 13 ([9], 1084). Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , если:

1) , и , где , и — взаимно перпендикулярные орты;

2) , , , где , .

Задача 14 ([9], 1085). Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах: , и , если за основание взят параллелограмм, построенный на и . Кроме того, известно, что и — взаимно перпендикулярные орты.

Задача 15 ([9], 1091). Зная, что , найти соотношение между векторами , и , не содержащее коэффициентов и .

Задача 16 ([9], 1092). Можно ли найти вектор , одновременно удовлетворяющий двум уравнениям: и , где , , — данные векторы и — данный скаляр.

Задача 17 ([8], 857). Даны точки , и . Вычислить площадь треугольника .

Задача 18 ([8], 858). Даны вершины треугольника: , , . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины на сторону .

Задача 19 ([8], 859). Вычислить синус угла, образованного векторами , .

Задача 20 ([8], 860). Вектор , перпендикулярный к векторам , образует с осью Оу тупой угол. Зная что , найти его координаты.

Задача 21 ([8], 861). Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору , образует острый угол с осью Ох. Зная что , найти его координаты.

Задача 22 ([8], 862). Найти вектор , зная, что он перпендикулярен вектору и , и удовлетворяет условию .

Задача 23 ([8], 864). Даны вектора , и . Вычислить и .

Задача 24 ([8], 867). Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен . Зная, что , и , вычислить .

Задача 25 ([8], 871). Доказать, что векторы , , , удовлетворяющие условию .

Задача 26 ([8], 873). Даны вектора , , . Вычислить .

Задача 27 ([8], 876). Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках , , , .

Задача 28 ([8], 877). Даны вершины тетраэдра: , , , . Найти длину его высоты опущенной из вершины D.

Задача 29 ([8], 878). Объем тетраэдра равен пяти, три его вершины находятся в точках: , , . Найти координату вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.

Тема 3. Векторное и смешанное произведения.

Ответы

Задача 1. ; ; .

Задача 2. ; ; .

Задача 3. .

Задача 4. Равенства 1) и 2) неверны так как . Равенство 3) справедливо лишь в случае, когда перпендикулярно .

Задача 5. .

Задача 6. .

Задача 7. кв.ед.

Задача 8.

Задача 9. .

Задача 10. .

Задача 11. .

Задача 12. , если , и составляют правую тройку; , если , и составляют левую тройку.

Задача 13. 1) V = 25 куб. ед.; 2) V = 0. Указание. Второй ответ очевиден, так как из разложения соответствующих векторов , , видно, что они компланарны.

Задача 14. .

Задача 15. .

Задача 16. .

Задача 17.

Задача 18.

Задача 19. .

Задача 20. .

Задача 21. .

Задача 22.

Задача 23. ; .

Задача 24. ; знак плюс – в том случае, когда тройка векторов , , правая, и минус, когда эта тройка левая.

Задача 26. .

Задача 27.

Задача 28.

Задача 29. , .