Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Тема 7. Уравнения прямой на плоскости. – 2 ч.

Содержание: общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом; угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; неполные уравнения прямой; уравнение прямой в отрезках; нормальное уравнение, расстояние от точки до прямой; полярное уравнение прямой; уравнение пучка прямых.

Цель: изучить различные способы задания прямых на плоскости их уравнениями; научиться применять уравнения прямых при решении планиметрических задач.

Форма контроля: опрос.

Задачи

Задача 1 ([8], 216). Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Задача 2 ([8], 217). Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь .

Задача 3 ([8], 218). Площадь треугольника кв. ед.; две его вершины - точки и , а третья вершина лежит на прямой . Определить координаты вершины .

Задача 4 ([8], 220). Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная её угловой коэффициент и отрезок , отсекаемый ею на оси Oy:

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , .

Задача 5 ([8], 221). Определить угловой коэффициент и отрезок , отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Задача 6 ([8], 222). Дана прямая . Определить угловой коэффициент прямой:

1. параллельной данной прямой;

2. перпендикулярной к данной прямой.

Задача 7 ([8], 223). Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

1. параллельной данной прямой;

2. перпендикулярной к данной прямой.

Задача 8 ([8], 224). Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

Задача 9 ([8], 225). Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

Задача 10 ([8], 226). Найти проекцию точки на прямую .

Задача 11 ([8], 227). Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

Задача 12 ([8], 228). В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , .

Задача 13 ([8], 253). Определить угол между двумя прямыми:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

Задача 14 ([8], 254). Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку под углом 45^o к данной прямой.

Задача 15 ([8], 272). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух биссектрис и .

Задача 16 ([8], 273). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнения высоты и биссектрисы , проведённых из одной вершины.

Задача 17 ([8], 274). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнение высоты и биссектрисы , проведённых из различных вершин.

Задача 18 ([8], 275). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнение высоты и медианы , проведённых из одной вершины.

Задача 19 ([8], 276). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнение высоты и медианы , проведённых из различных вершин.

Задача 20 ([8], 277). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнение биссектрисы и медианы , проведённых из одной вершины.

Задача 21 ([8], 278). Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а так же уравнение биссектрисы и медианы , проведённых из разных вершин.

Задача 22 ([8], 286). Определить, при каких значениях и прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный -3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

Задача 23 ([8], 292). Определить при каких значениях и две прямые , .

1. параллельны;

2. совпадают;

3. перпендикулярны.

Задача 24 ([8], 304). Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от ординарного угла треугольник с площадью, равной кв. ед.

Задача 25 ([8], 307). Через точку проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

Задача 26 ([8], 312). Вычислить величину отклонения и расстояние точки от прямой в каждом из следующих случаев:

1. , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Задача 27 ([8], 324). Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.

Задача 28 ([8], 333). Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

Задача 29 ([8], 336). Отклонения точки от прямых и равны соответственно -3 и -5. Определить координаты точки .

Задача 30 ([8], 339). Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

1) , ; 2) , ;

3) , .

Задача 31 ([8], 349). Составить уравнения биссектрисы угла между прямыми и , в котором лежит точка .

Задача 32 ([8], 353). Найти центр пучка прямых, данного уравнения .

Задача 33 ([8], 359). Даны уравнения сторон треугольника , , . Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

Задача 34 ([8], 360). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , под углом в 45^о к прямой . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

Задача 35 ([8], 363). Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключённые между прямыми , , равны .

Задача 36 ([8], 364). Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая принадлежит этому пучку.

Задача 37 ([8], 381). Вывести полярное уравнение прямой, если даны:

1. угол наклона прямой к полярной оси и длина перпендикуляра , опущенного из полюса на эту прямую. Написать уравнение этой прямой в случае , ;

2. отрезок , который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол нормали этой прямой. Написать уравнение этой прямой в случае , ;

3. угол наклона этой прямой к полярной оси и отрезок , который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в случае , .

Задача 38 ([8], 384). Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .

Тема 7. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Ответы

Задача 1. , , и .

Задача 2. кв. ед.

Задача 3. или .

Задача 4. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Задача 5. 1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) ; .

Задача 6. 1) ; 2) .

Задача 7. 1) ; 2) .

Задача 8. , .

Задача 9. , ; , .

Задача 10. .

Задача 11. .

Задача 12. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Задача 13. 1) ; 2) ; 3) — прямые параллельны; 4) .

Задача 14. или .

Задача 15. , , . Указание. Если на одной стороне угла дана точка , то точка, симметричная точке относительно биссектрисы этого угла, будет лежать на другой его стороне.

Задача 16. , , .

Задача 17. , , .

Задача 18. , , .

Задача 19. , , .

Задача 21. , , .

Задача 22. , , .

Задача 22. , , .

Задача 23. 1) , или , ; 2) , или , ; 3) , – любое значение.

Задача 24. Условию задачи удовлетворяют следующие три прямые: , , .

Задача 25. Условию задачи удовлетворяют две прямые, пересекающие соответственно оси координат в точках , и , .

Задача 26. 1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , — точка лежит на прямой.

Задача 28. Условию задачи удовлетворяют два квадрата; остальные стороны одного из них лежат на прямых , , ; остальные стороны другого — на прямых: , , .

Задача 29. .

Задача 30. 1) , ; 2) , ; 3) , .

Задача 31. .

Задача 32. .

Задача 33. , , .

Задача 34. , .

Задача 35. , .

Задача 36. 1)

2)

3)

Задача 38.