АиГ / Тема 2

Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика, 1 курс, 1 семестр)

Темы 2, 3. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. – 6 ч.

Содержание: равенство векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, компланарность векторов, размеры векторов, разложение векторов, единичный вектор, необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов, геометрический смысл линейной зависимости векторов.

Цель: выработать у студентов навыки выполнения операций над векторами; дать понятие зависимость векторов.

Форма контроля: опрос.

Задачи

Задача 1 ([9], 1001). В параллелограмме обозначены: и . Выразить через и векторы , , , , где есть точка пересечения диагоналей параллело­грамма.

Задача 2 ([9], 1002). Пользуясь параллелограммом, построенным на век­торах и , проверить на чертеже справедливость тождеств.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Задача 3 ([9], 1003). Какой особенностью должны обладать векторы и , чтобы имело место соотношение:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Задача 4 ([9], 1004). Каким условием должны быть связаны векторы и , чтобы вектор делил угол между ними пополам? Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу.

Задача 5 ([9], 1005). Какие ограничения должны быть наложены на коэффициенты и , чтобы имело место соотношение: , где и .

Задача 6 ([9], 1006). Три вектора , и служат сторонами треугольника. С помощью , и выразить векторы, «совпадающие» с медианами , и треугольника.

Задача 7 ([9], 1007). В треугольнике предшествующей задачи выразить все медианы только через два вектора: и .

Задача 8 ([9], 1008). Сторона треугольника разделена на пять равных частей и все точки деления , , , , соединены с противолежащей вершиной . Обозначив стороны и , найти выражения для векторов , , , .

Задача 9 ([9], 1009). Проверить, что векторы, совпадающее с медианами любого треугольника, в свою очередь могут служить сторо­нами другого треугольника.

Задача 10 ([9], 1016). В правильном шестиугольнике даны: и . Разложить по этим двум векторам, , , .

Задача 11 ([9], 1015). В правильном шестиугольнике известны и . 1) Выразить через и векторы: , , , , , , . 2) Найти отношение векторов ; ; ; .

Задача 12 ([9], 1022). В тетраэдре даны ребра, выходящие из вершины : , и . Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану, грани и вектор, где — центр тяжести грани .

Задача 13 ([9], 1024). Известны разложения двух векторов и по трем некомпланарным векторам , и :

, .

Какая зависимость должна существовать между коэффи­циентами этих разложений, если: 1) ; 2) и коллинеарны; 3) .

Задача 14 ([9], 1025). Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами

, , , .

Задача 15 ([9], 1026). Разложить вектор по трем некомпланарным векторам , и .

Задача 16 ([8], 783). Дано разложение вектора по базису ортонормированному базису , , : . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что .

Задача 17 ([8], 784). Два вектора и приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .

Задача 18 ([8], 785). Векторы и совпадают со сторонами треугольника . Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами , ,.

Задача 19 ([7], 1.39). Вершина параллелограмма соединена с точкой , лежащей на стороне , такой, что . Вершина соединена с точкой , лежащей на стороне , такой, что. В каком отношении точка пересечения прямых и делит отрезки и ?

Задача 20 ([7], 1.40). На боковых сторонах и равнобедренного треугольника расположены соответственно точки и так, что , . Прямая пересекает высоту треугольника в точке . Найти отношение .

Задача 21 ([7], 1.46). На диагонали боковой грани треугольной призмы взята точка , а на диагонали другой боковой грани — точка . Прямая параллельна плоскости . Найти отношение , еcли .

Темы 2, 3. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов.

Ответы

Задача 1. ; ; ; .

Задача 2. 1) Следует из треугольника ; 2) из треугольника ; 3) из треугольника ; 4) из параллелограмма ; 5) из треугольника ; 6) и 7) из треугольника .

Задача 3. 1) перпендикулярна ; и можно изобразить диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и . Из равенства длин диагоналей параллелограмма следует, что он прямоугольный.

2) и коллинеарны. Диагонали параллелограмма могут быть коллинеарными лишь тогда, когда его стороны коллинеарны.

3) и имеют одинаковое направление, так как равны единичные векторы их направлений.

4) и коллинеарны и имеют одинаковые направления.

5) и 6) и коллинеарны, но имеют противоположные направления.

Задача 4. , т.к. диагональ делит угол параллелограмма пополам только если этот параллелограмм – ромб.

Задача 5. , если и неколлинеарны; , если и коллинеарны и имеют противоположные направления; , если и имеют одинаковые направления.

Задача 6. ;

; .

Задача 7. ; ; .

Задача 8. ; ;

; .

Задача 9. Указание. Чтобы три вектора , и могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы . Справедливость этого равенства проверим, выразив каждую из медиан через стороны основного треугольника , и , помня, что .

Задача 10. ; ; ; .

Задача 11. 1) ; ; ; ; ; ; .

2) ; ; . Отношение смысла не имеет, так как эти два вектора неколлинеарны.

Задача 12. ; ; ; ; .

Задача 13. 1) , , . 2) . Указание. Пользуемся условием компланарности векторов: ;

3) соотношения между коэффициентами, не зависящего от выбора основных векторов , и , не существует.

Задача 14. . Указание. Искомая линейная зависимость получается путем исключения , и из данных четырех неравенств.

Задача 15. . Указание. См. задачу 14.

Задача 16. .

Задача 17. .

Задача 18. , , .

Задача 19. .

Задача 20. .

Задача 21. .