Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
АиГ / АнГ_МетодТекст.doc
Скачиваний:
112
Добавлен:
20.03.2015
Размер:
2.64 Mб
Скачать

Методические указания для практических занятий по аналитической геометрии (курс «Алгебра и геометрия») для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения квалификационного уровня «бакалавр» специальностей «прикладная математика», информатика (Аналитическая геометрия)

Настоящие методические указания содержат цикл задач по разделу «Аналитическая геометрия» курса «Алгебра и геометрия». Основная цель — выделить наиболее принципиальные вопросы указанного раздела и проиллюстрировать их на примерах.

По каждой теме дается сводка основных определений и формул, приводятся типичные задачи с решениями, а также обязательные задачи для самостоятельной работы.

Направленный отрезок — это отрезок, концы которого упорядочены (одним из двух возможных способов). Первый из этих двух концов отрезка называется началом, а второй — концом направленного отрезка.

На чертеже направленный отрезок изображают отрезком со стрелкой на конце, которая указывает направление направленного отрезка.

Направленные отрезки называются равными, если они совмещаются при параллельном переносе.

Вектор (или свободный вектор) — это совокупность (класс) всех равных между собой направленных отрезков. Для задания такой совокупности достаточно указать какой-либо один направленный отрезок из совокупности. Обозначение свободных векторов:

Векторы равны, если они удовлетворяют условиям:

  • имеют одинаковую длину;

  • сонаправлены.

Обозначение векторов:

Длина вектора, которая иначе называется модулем, или абсолютной величиной обозначается так: или.

Коллинеарные векторы — векторы, параллельные некоторой прямой. Такие векторы могут иметь как одинаковое направление, так и противоположное.

Компланарными называются векторы, параллельные некоторой плоскости.

Правила сложения векторов:

а) сложение двух векторов по «правилу треугольника» (рис. 1);

б) сложение двух векторов по «правилу параллелограмма» (рис. 2);

в) в случае большего числа слагаемых, получаем правило многоугольника (обобщение правила треугольника) — суммой служит замыкающий вектор той ломаной линии, звеньями которой служат данные слагаемые векторы (рис. 3).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Свойства сложения векторов:

1) ;

2) .

Свойства умножения вектора на скаляр:

1) , где‑ любое число;

2) ;

3) .

Векторы (1) называются линейно зависимыми, если существуют числа , одновременно не равные нулю, такие, что:

(2)

В противном случае векторы (1) называются линейно независимыми.

Геометрический смысл линейной зависимости:

1) для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны ; таким образом, из ра.венства (2) вытекает условие коллинеарности двух векторов (условие их линейной зависимости):

где ;

2) для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны; из (2) имеем условие компланарности трех векторов (условие их линейной зависимости):

;

3) любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

Если мы имеем 2 неколлинеарных вектора и, то любой третий компланарный им векторможет быть единственным способом «разложен по векторами», то есть представлен в виде:

Если мы имеем три некомпланарных вектора и, то любой четвертый векторможет быть однозначно разложен по векторами:

Вектор, длина которого при выбранном масштабе равна единице, называется единичным вектором или ортом. Если дан какой-нибудь вектор , то единичный вектор0 того же направления получится при делении вектора на его модуль:

.

Приведем примеры решения типичных задач.

Задача.Проверить, что векторы, совпадающие с медианами любого треугольника, в свою очередь могут служить сторонами другого треугольника.

Решение. Рассмотрим произвольный . Пусть; АМ,BN и СР – медианы . Выразим векторыичерез векторы.

. , так как векторыобразуют замкнутую систему.

Вычислим сумму .

Таким образом, три вектора образуют замкнутую систему, то есть на медианах произвольного треугольника можно построить другой треугольник.

Задача. В тетраэдре даны ребра, выходящие из вершины А:Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медианугрании вектор, гдеQ – центр тяжести грани BCD.

Решение. Ребра тетраэдра:

Медиана :

Для нахождения вектора нужно учесть, что медианы точкой пересечения (центр тяжести треугольника) делятся в отношении 2:1. Таким образом,

.

Задача. В параллелограмме ОАВС точки M и N – середины сторон исоответственно. Найти отношение, гдеР — точка пересечения и.

Решение. Пусть Тогда. Так как.

Из

из

Так как

То есть, Таким образом,

Задача. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам:

Решение. Если мы имеем три некомпланарных вектора, например , то любой четвертый векторможет быть однозначно разложен по векторамследующим образом:

. (3)

То есть имеем: .

Найдем числа , одновременно не равные нулю. Для этого представим правую часть последнего равенства в виде:

.

Получаем систему уравнений:

Подставляя эти значения в равенство (3), получим разложение вектора:

.

Задания для самостоятельного решения.

1. Каким условием должны быть связаны векторы , чтобы векторделил угол между ними пополам? Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу. (Ответ:p=q)

2. Зная векторы, служащие сторонами треугольника , найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

(Ответ: - внутренних углов;

- внешних углов)

3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки M и N так, что и. ПрямаяMN пересекает высоту в точкеО. Найти отношение . (Ответ:)

4. В проведена биссектрисаBD угла B. Найти разложение вектора по векторами. (Ответ:)

5. В правильном шестиугольнике даны:и. Разложить по этим двум векторам.

(Ответ:)

6. В равнобочной трапеции известно нижнее основание, боковая сторонаи угол между ними. Разложить поивсе векторы, составляющие остальные стороны и диагонали трапеции. (Ответ:)

7. В АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении m:n, то есть . Разложить векторпо векторами. (Ответ:)

8. Точки K и L являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС. Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма совпадает с точкой пересечения медиан .

9. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что . Точку пересечения отрезковBN и CM обозначим через О. Найти отношения и. Доказать, что примедианыпересекаются в одной точке.

(Ответ: )

10. Зная разложения векторов по трем некомпланарным векторам, проверить, будут ликомпланарны, и в случае утвердительного ответа дать линейную зависимость, их связывающую:

(Ответ: - некомпланарны)

11. Найти линейную зависимость между данными четырьмя неком-планарными векторами:

(Ответ: )

12. В разложении вектора по двум неколлинеарным вектораммогут ли оба коэффициента разложенияили один из них равняться нулю? (Ответ: а), если; б); в))

§ 2. Декартовы координаты. Координаты вектора, действия над векторами, заданными своими координатами.

Аффинная (декартова) система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных (т.е. линейно неза-висимых) векторов . Векторыназываютсябазисными векторами (также говорят, что образуютбазис). Векторы определяют две

Рис. 4. координатные оси Ох1 и Ох2 и являются единичными векторами этих осей (рис. 4).

Система координат обозначается через или черезОх1х2.

Пусть М – какая-нибудь точка плоскости; обозначим через ипроекции точкиМ соответственно на оси координат Ох1 и Ох2 (рис.5). Длины векторов называются соответственно первой и второй координатой точкиМ.

Рис.5. Рис.6.

Любая пара чисел х1, х2 однозначно определяет точку М; точка М с координатами х1, х2 обозначается так: М(х1, х2 ).

Координаты произвольного вектора относительно базиса(относительнобазисных векторов ) называются координатами вектораотносительно системы координат; они являются проекциями векторана оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 6). Векторс координатамих1, х2 обозначается так: ; тогда

. (1)

Координаты любой точки М в данной системе координат – это координаты вектора в этой системе координат (называютрадиус-вектором точки М).

Два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Если , то для координатх1, х2 вектора имеем

.

Афинная система координат в пространстве строится аналогично с очевидными изменениями.

Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает выбор одной определенной единицы длины (масштаба). После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы (на плоскости;в пространстве) быливзаимно перпендикулярными ортами (векторы называются основными или базисными ортами прямоугольной системы координат).

Любой вектор может быть разложен по базисным ортамна плоскости (в пространстве) следующим образом:

. (2)

Векторы называются компонентами векторапо осям координат.

Коэффициенты разложения x, y, z являются проекциями вектора на соответствующие оси координат.

Проекции вектора на три оси координат называются координатами вектора. Обозначение: =.

Длина вектора вычисляется по формуле:

. (3)

Направление вектора определяют его направляющие косинусы:

(4)

где .

Очевидно, что . (5)

Таким образом, . (6)

Если дано несколько векторов своими координатами:

,

то координаты суммы этих векторов равны суммам одноименных координат слагаемых векторов, т.е.

. (7)

Координаты разности двух векторов равны разностям одноименных координат этих векторов, т.е. если , то

. (8)

Координаты произведения вектора на скалярравны произведениям координат вектора на тот же скаляр:

. (9)

Условие коллинеарности двух векторов:

. (10)

Если даны две точки , то координаты точки, делящей векторв отношении, т.е., опреде-ляются так:

. (11)

Примеры решения типичных задач.

Задача. В трапеции длины основанийAD и ВС относятся как

3 : 2. Принимая за базисные векторы и, найти в этом базисе координаты векторов

Решение. По условию задачи: , т.е..

Пустьи.

Тогда из

из

из .

Или:

Таким образом, вектор

Ответ: .

Задача. Вектор составляет с координатными осямиОх и Оу углы . Вычислить его координаты при условии, что.

Решение. Пользуясь равенством (5), найдем угол , который векторсоставляет с осьюОz:

В силу равенства (6), имеем:

Из условия задачи следует, что ; т.е.

.

Ответ: .

Задача. Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты векторанаправленного по биссектрисе угла между векторамии, при условии, что

Решение. Пусть Найдем векторыи

.

Найдем вектор

Т.к. ― ромб (построен на ортах и), то― бис-сектриса угла между векторами и. Таким образом:т.е.

По условию задачи:

Таким образом, .

Задача. Даны три вектора Опре-делить разложение векторапо базису.

Решение. Найдем координаты вектора :

Разложить вектор по базису векторов, значит представить его в виде:.

Т.е. имеем:

Получим систему уравнений:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

1. В параллелограмме точкаК — середина отрезка ВС и точка О — точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и, найти в этом базисе координаты векторов(Ответ:).

2. Дан правильный шестиугольник . Принимая за начало координат вершинуА, а за базисные векторы и, найти координаты вершин шестиугольника и его центра.

(Ответ: ― центр шестиугольника)

3. Даны вершины Разложить векторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам. (Ответ:;)

4. Найти проекцию вектора на ось абсцисс и компоненту этого же вектора по оси ординат, еслии(Ответ:)

5. Найти длину и направление вектора зная, чтои

(Ответ: )

6. Дан модуль вектора и углыВычислить проекции векторана координатные оси.

(Ответ: )

7. Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3. (Ответ: )

8. Даны точки иПроверить, что векторыиколлинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны. (Ответ:)

9. Дано разложение вектора по базисуОпределить разложение по этому же базису векторапараллельного векторуи противоположного с ним направления, при условии, что(Ответ:)

10. Проверить, будут ли компланарны данные три вектора:

а)

б)

(Ответ: а) некомпланарны; б) компланарны)

11. Даны три силы: Найти величину и направление равнодействующей силы.

(Ответ: )

12. На плоскости даны три вектора .

Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других. (Ответ: ).

13. На плоскости даны четыре точки и. Определить разложение векторовиприни-мая в качестве базиса векторыи. (Ответ:

)

14. Даны три вектора Найти разложение векторапо базису.

(Ответ: )

Соседние файлы в папке АиГ