§ 3. Проекции вектора. Скалярное произведение векторов.

Осью называется прямая, на которой выбрано положительное направление и единица длины. Ось вполне определяется единичным вектором (ортом).

Проекцией вектора на ось называется число, равное величине отрезка на оси, где точкаявляется проекцией точкиА на ось , а- проекцией точкиВ на эту ось.

Проекция вектора на осьобозначается символом:

, или .

Проекция вектора на осьu выражается через его длину и угол наклона к осиu формулой:

. (1)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов обозначается символомили(можно между векторами ставить запятую).

Если угол между векторами обозначить через(), то их скалярное произведение выражается равенством

. (2)

Скалярное произведение векторов можно вычислить также по формуле:

или . (3)

Из формулы (2) следует, что:

1) , если- острый угол;

2) , если- тупой;

3) , когда(в частности,, еслиили);

4), если.

Скалярное произведение называетсяскалярным квадратом вектора и обозначается символом Из формулы (2) следует, чтоскалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

. (4)

Угол между векторамиидается формулой:

. (5)

Если и, то:

, (6)

, (7)

(8)

― условие перпендикулярности векторов и.

Свойства скалярного произведения:

1) (9)

2) (10)

3) . (11)

Примеры решения типичных задач.

Задача. Векторы иобразуют уголзная, чтовычислить: 1)2)3)4)5);

6) 7)

Решение.

1) пользуясь формулой (2), получим:

2) применяя (4), имеем:

3) аналогично,

Т.к. для скалярного произведения выполняются равенства (9)-(11), найдем 4) – 7):

4)

5)

6)

7)

Задача. Длины базисных векторов аффинной системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120^о. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника . Найти длины сторон и углы треугольника.

Решение. Найдем координаты векторов , на которых построенв данной аффинной системе координат :

Разложим эти вектора по базису :

Пользуясь формулой (4), найдем длины векторов (сторон), на которых построен треугольник:

Углы найдем, применив формулу (5). Т.е.

т.е.

.

Аналогично,

Задача. Вектор , коллинеарный векторуобразует тупой угол с осьюOz. Зная, что , найти его координаты.

Решение. Т.к. , тот.е..

По условию задачи:

Также по условию задачи: Направление осиOz задает третий базисный орт т.е.а это значит, что скалярное произведениеиспользуя формулу (6), запишем:приТаким образом, из двух значений выбираемСледовательно, векторимеет координаты:

Задача. Найти проекцию вектора на ось, имеющую направление векторагде- взаимно перпендикулярные орты.

Решение. Из условия задачи следует, что векторы можно принять за базисные орты; тогда

Найдем направление вектора , т.е. координаты векторадля этого найдем длину вектора:

Таким образом,

Преобразуем формулу (1), используя равенство (5):

таким образом, (12)

где - единичный вектор, направленный по оси.

Применим формулу (12) к нашей задаче:

Задачи для самостоятельного рассмотрения.

1. Векторы ивзаимно перпендикулярны; векторобразует с ними углы, равныезная, чтовычислить:(Ответ: 1)–62; 2) 162; 3) 373)

2. Даны единичные векторы , удовлетворяющие условиюВычислить(Ответ:)

3. Даны векторы , удовлетворяющие условиюЗная, чтовычислить(Ответ:-13)

4. Зная, что иопределить, при каком значении коэффициентывекторыиокажутся перпендикулярными. (Ответ: 40)

5. Длины базисных векторов равны соответственноа углы между ними равныВычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (1; -3; 0) и (-1; 2; 1). (Ответ: 3 и 5; острый угол)

6. В правильном тетраэдре точкиМ и Р – середины ребер AD и CD соответственно, точки N и Q - центры граней BCD и ABC соответственно. Найти угол между прямыми MN и PQ. (Ответ: )

7. Даны вершины треугольника А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1). Определить его внутренний угол при вершине В. (Ответ: 45^о)

8. Даны вершины треугольника А(3;2;-3), В(5;1;-1), С(1;-2;1). Определить его внешний угол при вершине А. (Ответ:)

9. Найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию(Ответ:)

10. Вектор , перпендикулярный к векторамиобразует с осьюОу острый угол. Найти его координаты, зная, что . (Ответ:)

11. Даны векторы и Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к осиOz и удовлетворяет условиям (Ответ:)

12. Найти вектор , зная что он перпендикуляр к векторамии удовлетворяет условию(Ответ:)

13.Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы (Ответ:)

14. Даны точки Найти проекцию векторана ось, составляющую с координатными осямиОх, Оу углы а с осью- тупой угол(Ответ: -5)

15. Даны векторы иВычислить(Ответ: -11)

16. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.

(Ответ: )