АиГ / ЭкзВопросыАиГ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по курсу

"АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ"

специальности "Информатика", "Прикладная математика".

1. (Векторы. Сложение векторов. Умножение вектора на число.)

2. Линейные комбинации векторов. Линейная зависимость векторов.

3. Коллинеарные векторы. Условие линейной зависимости двух векторов.

4. Компланарные векторы. Условие линейной зависимости трех векторов.

5. (Базисы на прямой, плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы.) *Одноименные и разноименные базисы.

6. Разложение вектора по базису. (Координаты вектора.) Вычисление координат векторов a + b и k a по координатам векторов a, b и скаляру k.

7. Задача о делении направленного отрезка в данном отношении.

8. (Определение скалярного произведения, его свойства.)

9. Ортогональная проекция вектора.

10. (Вычисление скалярного произведения векторов по их координатам.)

11. Вычисление угла между векторами по их координатам.

12. Матрицы. Определители квадратных числовых матриц.

13. Правые и левые тройки векторов. (Векторное произведение, его свойства.)

14. *Доказательство дистрибутивности векторного произведения.

15. (Вычисление векторного произведения векторов по их координатам.)

16. Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах, по координатам этих векторов. Условие коллинеарности двух векторов.

17. *Двойное векторное произведение.

18. (Смешанное произведение трех векторов. Свойства смешанного произведения.)

19. Вычисление смешанного произведения по координатам сомножителей.

20. Геометричес­кий смысл смешанного произведения трех векторов.

21. Вычисление объема параллелепипеда, построенного на трех векторах, по координатам этих векторов. Условие компланарности трех векторов.

22. Аффинная система координат на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты точки. Ортонормированная система координат.

23. (Координаты направленного отрезка и координаты вектора. Длина отрезка.

24. Решение задачи о делении отрезка в данном отношении в аффинной системе координат.)

25. (Вычисление площади треугольника) и объема тетраэдра по координа­там их вершин.

26. (Каноническое уравнение [каноническая пропорция] прямой на плоскости.) Параметрические уравнения прямой на плоскости.

27. (Задание прямой на плоскости уравнением с угловым коэффициентом.)

28. (Общее уравнение прямой на плоскости и геометрический смысл его коэффи­циентов.)

29. (Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости.)

30. *Отклонение точки от прямой на плоскости. (Полуплоскости.)

31. (Вычисление угла между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.)

32. *Угол от одной прямой до другой прямой на плоскости и вычисление тангенса этого угла.

33. (Пересечение двух прямых плоскости.)

34. (Пучок прямых на плоскости. Уравнение пучка.)

35. Параметрические уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

36. (Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.)

37. (Общее уравнение плоскости и геометрический смысл его коэффициентов.)

38. (Вычисление расстояния от точки до плоскости.)

39. *Отклонение точки от плоскости. Полупространство.

40. (Взаимное расположение двух плоскостей.)

41. (Пучок плоскостей и его уравнение.)

42. (Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.)

43. (Прямая в пространстве как пересечение двух плоскостей.)

44. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

45. (Взаимное расположение двух прямых в пространстве.)

46. (Расстояние между прямыми в пространстве.)

47. (Взаимное расположение прямой и плоскости.)

48. (Преобразование базисов) и соответствующее ему преобразование координат векторов.

49. Преобразование аффинных систем координат и соответствующее ему преобразование координат точек.

50. (Ортогональные преобразования координат на плоскости.)

51. Ортогональные преобразования координат в пространстве. *Углы Эйлера.

52. (Эллипс и его каноническое уравнение.)

53. (Фокусы и директрисы эллипса.) Фокальные радиусы точки эллипса.

54. Эллипс как сжатая окружность. Параметрические уравнения эллипса.

55. (Фокальное) и (директориальное) свойства эллипса.

56. (Гипербола и ее каноническое уравнение. Равнобочная гипербола.)

57. Фокусы и директрисы гиперболы. Фокальные радиусы точки гиперболы.

58. (Фокальное) и (директориальное) свойства гиперболы.

59. Уравнение гиперболы, отнесенное к асимптотам.

60. (Парабола и ее каноническое уравнение.)

61. (Фокус и директриса параболы. Фокальный радиус точки параболы.)

62. (Директориальное свойство параболы.)

63. (Полярная система координат на плоскости.)

64. Полярные уравнения (эллипса), (параболы) и (гиперболы).

65. (Ортогональные преобразования уравнения кривой второго порядка.)

66. (Центральная кривая второго порядка и ее приведенное уравнение.)

67. Кривая второго порядка параболического типа и ее приведенное уравнение.

68. (Ортогональные инварианты уравнения кривой второго порядка.)

69. Центральные кривые второго порядка и их ортогональная классификация.

70. Кривые параболического типа и их ортогональная классификация.

71. (Ортогональная классификация кривых второго порядка.)

72. (Асимптотические и неасимптотические направления для кривых второ­го порядка. Асимптоты гиперболы.)

73. (Касательные к кривым второго порядка.)

74. (Оптические свойства эллипса, параболы и гиперболы.)

75. (Центры и центры симметрии кривых второго порядка.)

76. (Диаметр кривой второго порядка, сопряженный данному направлению.)

77. *Главные диаметры. Построение канонической системы координат.

78. Определение поверхности второго порядка. Приведенное уравнение поверхности второго порядка.

79. (Эллипсоиды и их свойства. Эллипсоиды вращения.)

80. (Гиперболоиды и их свойства.)

81. (Конус второго порядка. Асимптотические конусы гиперболоидов.)

82. (Эллиптический параболоид.)

83. (Гиперболический параболоид.)

84. Цилиндрические поверхности второго порядка.

85. (Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка)