Кривые и уравнения
В
заключение поговорим о связи кривых с
дифференциальными уравнениями. Вспомним,
что кривая лежит на сфере, а сфера
находится в трехмерном пространстве.
Пусть, как и раньше, вдоль кривой движется
точка, которая за некоторое время
пробегает всю кривую. Так как в каждый
момент времени проведенный из центра
радиус-вектор
r(t)
перпендикулярен
сфере, а вектор скорости
касается
кривой, а значит, и сферы. Эти векторы
не могут быть кол- линеарными. Если
кривая — выпуклая, тс вектор ускорения
не лежит в
плоскости, натянутой на векторы, так
как проекция ускорения на касательную
плоскость к сфере направлена в сторону
«вогнутости» кривой и не коллинеарна
(рис.
14). Поэтому радиус-вектор, скорость и
ускорение — три независимых вектора,
т. е. любой вектор можно разложить по
ним.
Рассмотрим
вектор
,
т. е. вектор,
координаты которого — производные от
координат
r(t):
Если
,
то
Разложим
вектор
по r(t),
,
(разумеется, коэффициенты разложения
зависят от времени):
Но
тогда каждая координата
(i= 1, 2, 3) —
функция, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению:
Итак, каждой выпуклой кривой на сфере мы поставили в соответствие уравнение. Еще одно важное замечание, замкнутой кривой соответствует уравнение, у которого все коэффициенты и все решения — периодические функции.
А теперь — несколько примеров.
1).
Уравнение
имеет
периодические решения
,
,
.
2).
Уравнение
имеет периодические решения
,
,
.
3).
Уравнение
имеет решения
,
,
, из которых только одно — периодическое.
Такое уравнение нам не подходит.
Уравнение
1) соответствует кривой на рисунке 15,а
(пересечение сферы и плоскости), т. е.
кривой а)
на рисунке 9. точка на кривой движется
равномерно, с постоянной скоростью и
пробегают всю окружность за время
.
Уравнение 2) относится к другому типу.
На первый взгляд, оно соответствует той
же кривой. Но за время
точка
пробегает кривую два раза, т. е. совершает
два оборота (см. рис. 15, б). При «малом
шевелении», эта «два раза пройденная
кривая» переходит в кривую
б) на рисунке
5, б.
Будем считать уравнения одинаковыми, если их можно перевести друг в друг а, изменяя их коэффициенты, но так, чтобы решения оставались периодическими.
Сколько существует равных уравнений порядка 3 с периодическими решениями?
Этот вопрос оказывается переформулировкой вопроса о выпуклых кривых на сфере, и ответ на него дается теоремой Литтла: их три. Первые два у равнения уже указаны в примерах 1) и 2).
На примере связи кривых и уравнений мы проиллюстрировали лишь одно из применений теоремы Литтла.
Еще одно последнее замечание.
Мы видели, что кривая а) на рисунке 9 явно отличается от кривых б) и в). Как это отражается на свойствах соответствующего уравнения?
Пусть снова точка пробегает кривую. Любое решение уравнения — это координата этой точки как функция от времени (т. е. проекция точки на прямую, выходящую из центра). Рассмотрим экватор, перпендикулярный данной оси. Пересечения экватора с кривой — это точки, в которых координата обращается в нуль. Их не более двух. Поэтому решения нашего уравнения на периоде (т. е. когда t меняется от 0 до Т) не могут иметь более двух нулей. Мы получили очень важный класс уравнений, которые математики называют неосциллирующие уравнения.
Как мы видим, игрушечный вопрос о кривых может привести к самым серьезным последствиям.