topology / Многообразия / Шапиро-Ольшанецкий -Многообразия

Многообразия

1. Многообразия (аналитическое представление).

Топологическое многообразие – это множество точек, для которых определено понятие близости. В частности, топологическим многообразием является множество точек евклидова пространства, определенное уравнениями:

,

(1)

Многообразие (1) является, таким образом, некоторой областью подпространства измерений. Граница многообразия определяется уравнениями:

.

(2)

Как следует из (2), размерность границы будет Если система (2) не имеет решений, то многообразие неограничено.

Два многообразия и называются гомеоморфными, если существует

взаимно – однозначное, взаимно непрерывное отображение одного многообразие на другое ( две близкие точки переходят в две близкие ). Аналитически это означает, например, что функции и в (1) переводят друг в друга заменой на по формулам:

(3)

Причем функции - однозначны, непрерывны и дифференцируемы, а якобиан преобразования нигде не равен нулю. В остальном же они функции произвольные.

Многообразия можно задавать и способом, отличным от (1). Например, параметрически:

.

(4)

В случае задания (4) неравенства не всегда определяют границу, а, например, могут просто ограничивать область изменения аргументов периодических функций . Заметим, что иногда задания (4) предпочтительнее (1). Например, если (1) дополнить требованием «невырожденности», а именно требованием, чтобы миноры порядка матрицы одновременно не обращались в ноль ни в одной точке многообразия, то уравнения (1) не будут содержать неориентируемые многообразия типа проективной плоскости и др. Между тем аналогичное требование на матрицу для уравнений (4) не исключает неориентирумых многообразий. Этот феномен связан с тем, что замкнутые неориентируемые многообразия содержат самопересечения.

Предметом топологии как раз и является изучение тех свойств топологических пространств, которые инвариантны относительно всемозможных непрерывных отображений (3). При этом, рассматриваемые преобразования могут быть не столь гладкими, как мы это требовали. Именно функции обязаны быть непрерывными, но не обязательно дифференцируемыми. Ввиду общности топологических преобразований (3) довольно ясно, что мы использовали много лишнего. Очевидно, что совершенно не важен ни с принципиальной, ни с практической точки зрения аналитический вид определяющих такое многообразие, раз мы все равно будем его деформировать непрерывным образом до неузнаваемости. Важно нечто, выражаемое уравнениями (1), но не всякий вид этих уравнений. Точно так же совершенно не существенно, что наше многообразие является областью именно евклидового пространства, а не какого - нибудь другого. От метрики здесь требуется только одно – возможность определить близость точек.

Указанные причины побудили математиков сформулировать определения топологических объектов так, чтобы все «лишнее» было убрано и чтобы таким образом истинная природа тех или иных топологических свойств была максимально выделена.

2. Многообразия.

Хаусдорфово топологическое пространство называется многообразием, если для всякой точки существует окрестность, гомеоморфная шару в евклидовом пространстве . Гомеоморфность окрестности шару означает, что топологическое многообразие устроено локально так же, как евклидово пространство и поэтому, в частности, имеет определенную размерность.

Окрестность вместе с указанным гомеоморфизмом называется картой множества . Если то – локальные координаты точки

Если накладывается условия гладкости на многообразие, то необходимо, чтобы любые две карты и , для которых были надлежащим образом склеены. Многообразие будет принадлежать классу или будет аналитическим, если отображения из в и будут бесконечно дифференцируемы или аналитичны.

В этих терминах определяется многообразия с краем. Это многообразие , у которого существуют такие точки , что в локальных координатах карты и имеет вид полупространства в

Можно показать, что многообразия, определенные системой уравнений и неравенств в , являются многообразиями в инвариантной формулировке.

Пример 1. Окружность Четыре полуокружности являются картами, покрывающими В качестве локальных координат на берется проекция на ось Легко видеть, что это аналитическое многообразие. Эта конструкция обобщается на сферу произвольной размерности

Пример 2. Унитарная группа как многообразие. Множество унитарных матриц можно рассматривать как поверхность в евклидовом пространстве где заданную уравнением Таким образом, является многообразием. Можно ввести локальные координаты на и доказать, что аналитическое многообразие. Одна карта для группы хорошо известна - это углы Эйлера. Это действительно локальные координаты, т.к. они параметризуют группу, из которой выброшено многообразие меньшей размерности.

Пусть и - два многообразия. Рассмотрим множество пар Множество наделяется структурой многообразия, если задать в нем карты вида:

Где - карты в , а - карты в Многообразие называется произведением многообразий и (обозначение ).

Пример. Тор , цилиндр

Важным понятием является ориентация многообразия. Широкий класс топологических многообразий допускает ориентацию в целом. Такие многообразия называются ориентируемыми или двусторонними, причем ориентируемость является топологически инвариантным свойствам. Ориентируемы, в частности, многообразия, гомеоморфные шару при любом числе измерений ( двухмерный шар – это круг, одномерный – отрезок ). Т.о., окрестность любой точки или вообще говоря часть многообразия, гомеоморфная шару, ориентируема. Ориентировать окрестность – значит задать на ней систему координат. Две системы координат по определению соответствуют двум противоположным ориентациям, если якобиан преобразования от одной системы к другой отрицателен. Если две поверхности пересекаются, то мы можем считать их ориентированными одинаково или противоположно в зависимости от того, как ориентировано пересечение в каждой из этих пресекающихся окрестностей. Ориентируемое многообразие может быть покрыто системой пересекающихся окрестностей, ориентированных одинаково. Если этого нельзя сделать, то многообразие является неориентируемым (односторонним). Хорошо известным примером ограниченной неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса.

4