Свойства построения ленты

• Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

• Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).

• Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Уравнение ленты Мебиуса

Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где   и  . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости ; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.

Параметрическое изображение ленты Мебиуса

Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:

Свойство петли Мебиуса

• Топологический лист Мёбиус может быть определен как фактор пространство квадрата  по отношению эквивалентности  для .

Для получения ленты Мебиуса

необходимо совместить два конца

полоски так, чтобы направления

красных стрелок совпали.

• Лист Мёбиуса — неориентируемая поверхность с краем.

• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.

• Ленту Мебиуса, возможно, поместить в  с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем: пусть C будет единичным кругом в плоскости в . Соединив антиподные точки на C, то есть, точки под углами и дугой круга, получим, что для между 0 и  дуги лежат выше плоскости , а для других ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости  ).

Близкие объекты

Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом  вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.

Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.

Бутылка Клейна

Невозможный треугольник

Искусство и технология

Интернациональный символ повторного использования

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для искусства.

М.К. Эшер был одним из голландским художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Картина Пола Билацика называется «Кельтская лента Мебиуса». Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.

Кельтская лента Мебиуса

Эшер. Запись 2. "Лента Мебиуса 2".