Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4604 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

pmvm

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
321.93 Кб
Скачать
☆

1Матриця, визначники 2-го, 3-го порядку,

¨х властивостi.

Аудиторна робота

f jgj=1;m

Означення 1. Матрицею A = ai i=1;n порядку m n назива¹ться

таблиця чисел (дiйсних, комплексних)з m рядкiв i n стовчикiв.

Дi¨ над матрицями: 1. Матрицi однакового розмiру можна додавати за наступним правилом:

f jgj=1;m f jgj=1;m f j jgj=1;m A + B = ai i=1;n + bi i=1;n = ai + bi i=1;n :

fjgj=1;m

2.Матрицю A = ai i=1;n можна множити на дiйсне (комплексне)

число за наступним правилом:

f jgj=1;m f jgj=1;m

ai i=1;n = ai i=1;n :

Означення 2. Визначник матрицi А порядку n n- це скаляр визначений для цi¹¨ матрицi.

Матриця 2 2:

Визначник обчислю¹ться за наступним правилом

 

 

 

 

 

 

detA =

 

a11

a12

 

= a11a22 a12a21:

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 1.

1 2

= 1 4 2 3 = 2:

3 4

1

Матриця 3 3:

декiлька способiв обчислення визначника порядку 3. Перший метод "зiрочка":

 

 

 

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

detA = a21

a22

a23

= a11a22a33 + a13a21a32+

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

+a31a12a23 a13a22a31 a11a23a32 a33a12a21:

Другий метод-метод "додаткових стовпчикiв": до матрицi А злiва допису¹мо 1-ий i 2-ий стовпчики.

detA =

+a11

+a12

+a13 j

a11

a12

 

= a11a22a33 + a12a23a31

+ a13a21a32

 

 

a21

a22

a23

j

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

a31

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33:

 

 

Елементи дiагоналей паралельних головнiй дiагоналi матрицi перемножа¹мо для кожно¨ дiагоналi i запису¹мо в суму зi знаком "+", елементи дiагоналей паралельних другоряднiй перемножа¹мо окремо для кожно¨ дiагоналi i запису¹мо в ту ж суму зi знаком "-".

Третiй метод(загальний для матрицi будь-якого порядку)-це правило Лапласа.

Задача 1. Обчислити визначники матриць 2-го порядку

 

1 0

 

 

 

1 i

1 p

 

 

 

a)

;

b)

2

:

 

 

3 2

 

 

1 + p2 1 + i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Задача 2. Обчислити визначники матриць 3-го порядку

a)

 

1

2

0

;

b)

 

1

2

3

 

;

c)

 

11

2

0

 

2 0 1

 

 

2 3

2

 

 

 

2 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

3

2

 

1

 

 

 

11

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Обчислити визначники матриць 3-го порядку, користуючись властивостями визначникiв

 

1 + cos

1 + sin

1

 

 

x2

x

1

 

a)

1

 

sin

1 + cos

1

;

b )

2

y

1

:

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

z2

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Обчислити систему методом Крамера a)

8

x + 2y z

= 2;

> x + 5y

 

3z

= 3;

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

>

2x + y

= 3:

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

:

 

b)

 

 

 

8

2x 3y + z = 1;

>

x + y

 

z

= 1;

>

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

>

x y

= 2:

>

 

 

 

 

 

 

>

:

Задача 5. Дослiдити при яких значеннях параметра а система ма¹ ¹диний розвязок, безлiч розвязкiв, нема¹ розвязкiв.

8

2x 5y

 

= 1;

 

< ax + 5y

=

 

2a

 

5:

:

 

 

 

 

3

Задача 6 : Числа 425, 646, 901 дiляться на 17. Не обчислюючи

 

4

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначника пояснити чому число

6

4

6

дiлиться на 17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

0

1

 

 

 

 

 

 

1.1Вектори та дi¨ над ними

Нехай ~a = (xa; ya; za): Щоб знайти координати цього вектора, якщо ¹

~

початок A i кiнець B вектора AB = (xB xA; yB yA; zB zA):

 

Орт вектораj j = p

 

 

 

 

 

xa +

a

+ za:

Шука¹мо довжину вектора

~a

2

y2

2

 

 

~

 

 

 

 

 

 

~e ~ =

AB

= (cos ; cos ; cos ) :

 

 

 

~

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

jABj

 

 

 

 

 

 

Цi косинуси називаються напрямними, кути утворенi вектором ~ AB i

осями 0x; 0y; 0z вiдповiдно. Основна тотожнiсть для косинусiв

cos2 + cos2 + cos2 = 1:

Операцi¨ з векторами:

~

 

~a b = (xa xb; ya yb; za zb);

~a = ( xa; ya; za):

Розкласти вектор ~

~

d за базисом ~a; b;~c означа¹ розв'язати систему

 

рiвнянь:

~

~

d = ~a + b + ~c:

4

Координати ( ; ; ) ¹ координати вектора, отриманi при розкладi

вектора ~

d: Задача 1. Для вектора ~a = (4; 12; z) знайти третю координату z , якщо його довжина j~aj = 13. Знайти початок цього

вектора, якщо його кiнець в точцi (-1;0;3).

Задача 2. Чи може деякий вектор складати з осями координат наступнi

êóòè =

; = ; =

2

 

=

; =

5

; =

 

3 ?

 

6 ?

4

3

 

2

6

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

Задача 3. Для векторiв ~a = (3; 2; 6); b = ( 2; 1; 0) обчислити

 

~

~a

~

 

 

 

 

 

 

 

j2~a + 3bj; j3

2bj.

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Перевiрити, що вектори ~a = ( 5; 1); b = ( 1; 3) базис i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

розкласти вектор ~c = ( 1; 2) у базисi ~a; b:

 

Задача 5. Перевiрити, що вектори

 

~

 

 

 

1) базис i розкласти вектор

~a = (2; 1; 0); b = (1; 1; 2);~c = (2; 2;

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

d = (3; 7; 7) у базисi ~a; b;~c:

 

 

Задача 6. Побудувати вектори ~a

1~

 

1

~

2 b;

2~a + b:

Домашн¹ завдання Задача 1. Обчислити визначники матриць 2-го порядку

 

4 1

 

 

p

 

i

1

 

 

a)

;

b)

3

:

 

3 0

 

 

 

 

1

p3 + i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Обчислити визначники матриць 3-го порядку

a)

 

0

1

0

;

b)

 

1

0

5

 

10

286

1

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

628

1

 

 

 

 

3

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Задача 3. Обчислити визначники матриць 3-го порядку, користуючись властивостями визначникiв

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2cos2

 

sin

1

 

2

+ x2

x

1

a) 2cos

 

2

sin

1 ;

b ) + y

 

y

1 :

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0 1

2

+ z2

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Обчислити систему методом Крамера

8

2x 3y + z = 1;

>

x + y

 

z

= 1;

>

 

 

 

>

 

 

 

 

<

 

 

 

 

>

x y

= 2:

>

 

 

 

 

>

:

Задача 5. Дослiдити при яких значеннях параметра а система ма¹ ¹диний розвязок, безлiч розвязкiв, нема¹ розвязкiв.

:

8 x ay

= 1;

< ax + 5y

= 2a + 1:

Задача 6. Для вектора ~a = (4; y; 1) знайти координату y , якщо його

довжина j~aj = 14. Знайти початок цього вектора, якщо його кiнець в точцi (1;-2;-3).

 

 

~

 

Задача 7. Для векторiв ~a = (3; 2; 6); b = 2; 1; 0 обчислити

~

~a

~

 

j~a 3bj; j

2

2bj.

~

Задача 8. Перевiрити, що вектори ~a = (2; 1); b = (0; 4) базис i

 

 

 

~

розкласти вектор ~c = (1; 1) у базисi ~a; b:

Задача 9. Визначити, яка трiйка з чотирьох векторiв

~

1

1

3 ~

~a = ( 8; 4; 12); b = ( 8; 4; 12);~c = ( 2

; 4 ;

4 ); d = (2; 1; 3) утворю¹

базис i розкласти один з цих векторiв у базисi iнших трьох.

6

2Cкалярний, векторний, мiшаний добутки.

Аудиторна робота

2.1Скалярний добуток

Обчислю¹мо скалярний добуток за формулою

~

~

~

~

~a b = (~a; b) = xaxb + yayb + zazb = j~ajjbjcos(\~a; b) =

 

~

 

 

 

~ab j~aj:

~

~

 

 

Критерiй ортогональностi: (~a; b) = 0

, ~a?b:

 

 

~

 

Приклад 1. Задано вектори ~a = (1; 2; 0); b = (0; 1; 1);~c = ( 1; 1; 1):

 

~

~

~

Знайти a)(~a ~c; b + 2~c); b)\(~a

~c; b + 2~c); c)~a ~cb + 2~c:

a) Обчислимо координати векторiв ~a ~c = (1 + 1; 2 1; 0 1) = (2; 1; 1)

i ~

 

2; 1 + 2; 1 + 2) = ( 2; 1; 3): Скалярний добуток дорiвню¹

b + 2~c = (0

 

 

~

 

 

 

 

( 2) + 1 1 1

3 = 6:

 

 

 

 

 

(~a ~c; b + 2~c) = 2

 

 

 

 

b) Довжини векторiв рiвнi j~a ~j = p

 

 

 

 

 

= p

 

i

 

 

 

 

4 + 1 + 1

6

 

 

 

~

~

p

 

 

p

 

 

I кут мiж векторами тодi дорiвню¹

 

jb + 2j = 4 + 1 + 9 = 19:

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos\(~a

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(~a ~c;b+2~c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~c; b + 2~c) =

 

~

 

 

=

p

 

p

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~a ~c

b+2~c

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

jj

 

j

 

~

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

c) А проекцiя обчислю¹ться за формулою

~a

 

 

 

 

 

 

 

 

(~a ~c;b+2~c)

 

6

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~cb + 2~c =

 

~a ~c

= p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j j

6

 

Приклад 2. Довжини базисних векторiв e1; e2 загально¨ декартово¨

системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 2 i 1, а кут мiж

базисними векторами дорiвню¹

3 . Вiдносно цi¹¨ системи координат

~

заданi вектори ~a = ( 2; 1); b = (1; 2). Знайти довжини векторiв i кут мiж ними.

7

Оскiльки система не прямокутна i базиснi вектори неодиничнi, то довжини векторiв шука¹мо Задача1. Задано вектори

 

~

 

 

~

 

~a = ( 1; 0; 2); b = (2;

1; 1);~c = (1; 1; 1); d = ( 2; 1; 0): Обчислити

~

~

b)

~

c) \(~a +~; 2~a

~c);

a) (~a; b) (~c; d);

b(~a + ~c;~a ~c);

 

Задача 2. З однi¹¨ точки вiдкладено три вектори

 

 

~

8);

i ~c: Вектор ~c ма¹ довжину 3 i дiлить кут

~a = (0; 3; 4); b = (4; 1;

~

мiж векторами ~a i b навпiл. Обчислити координати вектора ~c:

Задача 3. Задано вектор ~a = (1; 1; 2). Знайти ортогональну проекцiю

вектора ~

b = (1; 1; 2) на пряму, напрям яко¨ визначений вектором ~a i

ортогональну складову вектора ~

b вiдносно цi¹¨ прямо¨. Задача 4. Довжини базисних векторiв e1; e2 загально¨ декартово¨

системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 4 i 2, а кут мiж

базисними векторами дорiвню¹ 2

3 . Вiдносно цi¹¨ системи координат

заданi вершини трикутника A( 2; 2); B( 2; 1); C( 1; 0). Знайти довжини сторiн i кут A.

2.2Векторний добуток

Обчислю¹мо векторний добуток за формулою

~a

 

~

~

=

 

i

j

k

 

= ~c;

 

b = ~a; b

xa

ya

za

 

 

h

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xb

yb

zb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль вектора, що дорiвню¹ векторному добутку рiвний

~

~

:

j~cj = j~aj jbjsin(\~a; b) = 2S4~a;~b

8

Критерiй колiнеарностi

~

 

~a b = 0:

 

~

~

Критерiй ортогональностi: (~a; b) = 0

, ~a?b:

Задача 5. Знайти довжину висоти трикутника ABC опущено¨ з

вершини B, якщо A(6;5;4), B(5,1,1), C(6,4,3)

Задача 6. Знайти площу паралелограма , побудованого на векторах

~

~

~

~

 

:

m;~ ~n, ÿêùî m~ = 6~a 3b i ~n = 3~a 2b j~aj = 4; jbj = 5; \(~a; b) =

6

Задача 7. Знайти вектор ~x, якщо вiн перпендикулярний до векторiв

~

~a = (1; 3; 1) i b = ( 2; 8; 3) i (~x;~c) = 9; äå ~c = (2; 3; 4):

2.3Мiшаний добуток.

Мiшаний добуток обчислю¹мо за формулою

~

~

xa

ya

za

 

:

(~a; b;~c) = (~a; [b;~c]) =

xb

yb

zb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xc

yc

zc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерiй компланарностi: вектори компланарнi

~

(~a; b;~c) = 0:

Задача 8. Визначити при яких значеннях параметра вектори

~

~a = (1; ; 3); b = (4; 3; 2);~c = ( 7; 5; 1) ¹ компланарними, утворюють праву трiйку, утворюють лiву трiйку.

Задача 9. Знайти довжину висоти тетраедра ABCD, опущено¨ з вершини D. A(1,2,3), B(2,1,2), C(-1,2,-1), D(-2,0,1).

9

Домашн¹ завдання Задача1. Задано вектори

 

~

 

 

~

1; 0): Обчислити

~a = ( 1; 1; 1); b = ( 1; 1; 2);~c = (1; 2;

1); d = (0;

~2

2

~

~

~

~

a)b

+ ~c

4(~a; d); b)

d(2~a b + ~c; b ~c);

c)

~ ~

\(2~a b + ~c; b ~c);

Задача 2. З однi¹¨ точки вiдкладено два вектори

~

~a = (1; 0; 2); b = (3; 1; 2): Обчислити координати вектора ~c, який

~

ма¹ довжину 4 i дiлить кут мiж векторами ~a i b навпiл.

Задача 3. Задано вектор ~a = (0; 2; 1). Знайти ортогональну

проекцiю вектора ~

 

 

 

b = (1; 0; 2) на пряму, напрям яко¨ визначений

~

 

 

 

вектором ~a i ортогональну складову вектора b вiдносно цi¹¨ прямо¨.

Задача 4. Довжини базисних векторiв e1; e2; e3 загально¨ декартово¨

системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 3,

p

 

i 4, à êóòè

2

мiж базисними векторами дорiвнюють \(e1; e2) = \(e3; e2) = 4 , \(e1; e3) = 3 :. Обчислити довжини сторiн i кути паралелограма, побудованого на векторах, якi мають у цьому базисi координати (1,-3,0) i (-1,2,1).

Задача 5. Знайти довжину висоти трикутника ABC опущено¨ з

вершини B, якщо A(-1,0,4), B(2,2,2), C(1,3,3)

Задача 6. Знайти площу паралелограма , побудованого на векторах

~

~

~

~

 

:

m;~ ~n, ÿêùî m~ = 4~a 2b i ~n = 3~a 2b j~aj = 5; jbj = 5; \(~a; b) =

4

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности