pmvm
.pdf
r |
1 + x |
|
|
c)f(x) = ln |
1 x |
; |
|
|
|||
x(10) d)f(x) = 1 x;
e)f(x) = arctgx;
1 x2 f)f(x) = 1 + x2 :
Домашня робота. Обчислити радiус та iнтервали збiжностi
X
1 ( 1)n + ( 2)n
1) xn;
2n
n=1
1
2) X (2n)!! xn; (2n + 1)!!
n=1 |
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
n2 |
|
3) n=0 |
1 + n |
e nx |
|||
X |
|
|
|
|
|
4) Розкласти функцiю f(x) = x+21 в степеневий ряд i вказати радiус
збiжностi:
31
а) по степеням x; б) по степеням x 2; в) по степеням x1 :
5) Розкласти функцiю f в степеневий ряд i вказати радiус збiжностi:
a)f(x) = shx;
b)f(x) = cos3x;
c)f(x) = ln(1 2x2); x
1 + x3 d)f(x) = 1 x3 ;
e)f(x) = arcsinx:
11 Ðÿäè Ôóð'¹.
Нехай функцiя f неперервна на ( l; l) за винятком злiченно¨ кiлькостi
точок xk (точок розриву першого роду) для яких f(xk) = f(xk 0)+f(xk+0) ;
2
32
i функцiя ма¹ кусково-неперервну похiдну f0 в цьому iнтервалi. Тодi функцiю f можна представити у виглядi ряду Фур'¹ на iнтервалi ( l; l):
1
f(x) = a20 + Xancosnl x + bnsinnl x;
n=1
де величини an i bn обчислюються за наступними формулами
an = l |
|
|
l |
f(x)cos l |
|
dx; n = 0; 1; 2; ::: |
||||||
Z |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n x |
||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||
bn |
= l |
Z |
l |
l dxn = 1; 2::: |
||||||||
f(x)sin |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n x |
|
||
l
Якщо функцiя f парна, то bn = 0:
Якщо функцiя f непарна, то an = 0:
Якщо функцiю потрiбно розкласти на iнтервалi (a;b), то величини an i bn обчислюються за наступними формулами
an = l Za |
b |
|
|
|
dx; n = 0; 1; 2; ::: |
|||||
f(x)cos l |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
n x |
|||||
|
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
bn |
= l |
b |
l dxn = 1; 2::: |
|||||||
f(x)sin |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
n x |
|
|||
äå l := b 2a
Аудиторна робота Розкласти в ряд Фур'¹ на iнтервалi:
1)f(x) = jsinxj;
33
2 |
|
|
2 |
|
|
2)f(x) = |
x |
; |
x |
|
(0; 2 ); |
|
|
||||
3)f(x) = x; x 2 (1; 1 + h); h > 0; 4)f(x) = x2
a)на ( ; ) по косинусам кратних дуг;
b)на (0; ) по синусам кратних дуг.
Домашня робота Розкласти в ряд Фур'¹ на iнтервалi:
|
|
1)f(x) = sgn(cosx); |
|
|
|||||
2)f(x) = |
8 2x; |
|
|
x 2 ( ; 0) |
|||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<3x; |
|
|
x |
|
(0; ) |
|
|
|
|
>2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
f x |
|
: |
x |
|
|
; h > |
|
|
3) |
( |
) = |
> |
|
|
(1; 3) |
0; |
||
4)f(x) = x
a)на ( ; ) по синусам кратних дуг;
b)на (0; ) по косинусам кратних дуг.
12 Диференцiальнi рiвняння.
Рiвняння з вiдокремленими змiнними:
f(x)dx = g(y)dy:
34
Рiвняння вигляду y0 = f(ax + by + c) зводиться до рiвняння з вiдокремленими змiнними за допомогою замiни z = ax + by + c:
Лiнiйне дифиренцiальне рiвняння першого порядку це рiвняння наступного вигляду
y0 + a(x)y = b(x):
Якщо b(x) = 0; то рiвняння назива¹ться однорiдним ЛДР першого порядку. Розв'язу¹ться як рiвняння з вiдокремленими змiнними.
Якщо b(x) 6= 0; то рiвняння назива¹ться неоднорiдним ЛДР першого порядку. Розв'язу¹ться одним з наступних двох методiв.
Метод Бернуллi:
1.Розв'язок рiвняння шука¹мо як добуток двох функцiй y = uv:
2.Розв'язу¹мо однорiдне рiвняння, записуючи функцiю u замiсть y:
u0 + a(x)u = 0: Вибира¹мо один довiльний частинний розв'язок. 3. Розв'язу¹мо рiвняння uv0 = b(x) пiдставляючи замiсть частинний
розвязок, який знайшли в пунктi 2. 4.Знаходимо загальний розвязок рiвняння y = uv:.
Метод Лагранжа(варiацiя довiльно¨ стало¨):
1.Розв'язу¹мо однорiдне рiвняння y0 + a(x)y = 0:
2.Вважа¹мо, що стала залежить вiд х, i пiдставля¹мо розв'язок з п.1 в
неоднорiдне рiвняння. Отриму¹мо рiвняння, де невiдомою функцi¹ю ¹
R
ñ(õ) c0e a(x)dx = b(x).
3.Знайшли с(х) i пiдставили в розвязок однорiдного рiвняння. Аудиторна робота
35
Розвязати рiвняння з вiдокремленими змiнними.
pp
1)x 1 + y2dx + y 1 + x2dy = 0;
2)y0 = 5ey; y(0) = 0;
3)y0 = cos(x y 1);
Метод Бернуллi, метод варiацi¨ довiльно¨ стало¨
4)y = x(y0 xcosx);
5)y0 + ytgx = secx;
6)(2ey x)y0 = 1
Домашня робота
1)x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0;
2)exdx (1 + ex)ydy = 0; y(0) = 1;
3)y0 = ln(2x + y + 1);
4)(xy0 1)lnx = 2y;
5)sin2x + yctgx = y0
6)(2x + 1)y0 = 4x + 2y:
Додатковi задачi.
36
1.Розв'язати рiвняння |
1 |
0 |
0 |
|
= 0: |
||
|
1 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 1 + |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Розв'язати систему в залежностi вiд параметрiв
8
< ax + 7y = 1;
:x y = 2b 2:
3.Перевiрити, що точки
A = (1; 0; 1); B = (2; 1; 1); C = (2; 3; 3); D = (0; 1; 1) ¹ вершинами трапецi¨.
4.Задано двi точки A = (3; 2) i B = (1; 4): Точка М лежить на прямiй AB, причому jAMj = 3jABj. Знайти координати точки, якщо точки M i B лежать по рiзнi боки вiд точки A.
5. Точки E i F ¹ серединами сторiн AB i CD чотирикутника ABCD.
|
|
EF = |
2 |
|
|
~ + |
~ |
. |
|
|
|
|
|
|||||
Довести, що |
~ |
|
1 |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
BC |
|
|
AD |
|
|
|
|
|
|
||||
6. Задано три некомпланарнi вектори ~a; b;~c: Обчислити вектор x з |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системи рiвнянь (~a; ~x) = 1; (b; ~x) = 0; (~c; ~x) = 0: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Довести, що вектори ~a = (2; 1; 2) i b = ( 2; 2; 1) можуть ребрами куба. |
||||||||||||||||||
Знайти вектор, який ¹ третiм ребром куба. |
|
|
|
|||||||||||||||
8.Обчислити похiдну y = |
|
x + |
p |
x + p |
|
: |
|
|
||||||||||
|
x + 1 |
|
|
|||||||||||||||
9.Обчислити похiдну |
|
sin( |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x 1 |
: |
|||
|
arctg(px2 1) 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
px3 |
|
2)+arccos(3x2 4x) |
|
|
x+1 |
|
||||||||
10. Обчислити iнтеграл R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(arccosx) |
dx. |
|
|
|
||||||||||||||
37