PLAN_DRpraktich-_15-16_51god
.pdfТеми практичних занять по курсу „Диференціальні рівняння” на 2015 – 2016 н. р. для студентів факультету кібернетики
за напрямком підготовки „Прикладна математика” (Спеціальність – інформатика)
Заняття 1.Тема: Побудова диференціальних рівнянь за заданим параметричним сімейством кривих.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Знайти диференціальні рівняння сімейств кривих та дати геометричне тлумачення результатів
1. |
x y 2 C . |
2. |
y eCx . 3. |
|
y C |
cos x C |
2 |
sin x . |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
4. |
Написати диференціальні рівняння всіх кіл на площині. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
( x C)2 y 2 r 2 . |
|
|
|
|||||||
5. |
6. y C e C .7. y C C ln x C x3 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
8. |
Знайти диференціальні рівняння всіх кіл на площині, які проходять через початок |
||||||||||
|
координат: x2 |
y 2 2C x 2C |
2 |
y 0 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
Знайти диференціальні рівняння сімейств кривих та дати геометричне тлумачення результатів
1. |
x 2 y 2 |
Cx 0 . |
2. |
y |
C |
. |
3. |
y sin x C . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
tg x C y 0 . |
|
4. |
y C e3 x C |
e 3 x . |
5. |
y tgCx . |
6. |
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
7.Знайти диференціальне рівняння всіх прямих на площині.
8.Утворити диференціальне рівняння прямих, що проходять через задану точку з координатами (а; b).
Заняття 2.Тема: Поле напрямів. Інтегральні криві.
Побудувати поле напрямів та накреслити схематично поведінку інтегральних кривих наступних диференціальних рівнянь.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1.dy dx
4. dydx
6.dydx
7.dydx
2x 1. |
2. |
|
dy |
|
y |
. |
|
3. |
|
dy |
y x2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
2 y x. |
5. |
|
dy |
x 2 |
2x y. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
y 2 . Побудувати ізокліни |
y 0, |
y |
|
, |
y 1, y 3. |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
. |
8. |
dy |
2xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x y |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. |
|
|
dy |
|
y x. |
|
2. |
|
dy |
|
x |
. |
|
|
|
|
3. |
dy |
|
y x2 . |
|
|||||||
dx |
|
|
dx |
y |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
|
dy |
|
y 3x. |
5. |
|
dy |
y 1 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dy |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, y |
|
1, y |
|
2, y |
|
3. |
|||
6. |
|
|
dx x |
|
y . |
Побудувати ізокліни |
y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
y 3x |
|
|
|
|
dy |
x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
8. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заняття 3. Тема: Диференціальні рівняння 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Рівняння з відокремлюваними змінними.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1.( y 2 1)( x 2)dx x2 ydy 0 .
2.sec 2 x tg y dx sec 2 y tg x dy 0 .
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy x3 ( y 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
xy ( x |
|
|
1) y |
0 ; M (0;1) . |
4. |
dx |
( x 1) y |
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
x2 dx y 3e x y dy 0 . |
6. |
y 3 ln ln xdx xey2 dy 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
e x 1 |
|
ee y (1 e x ) y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рекомендовані приклади для домашнього завдання |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1. |
2x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0; |
M (1;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
|
dy |
ex y ; M (0;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(ln |
x) |
|
|
|
|
|||
|
|
ydx ( |
|
|
xy |
|
|
|
x )dy 0; M (1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
4. |
|
y |
cos(ln |
y) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
cos x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 ln 2 y |
|
|
|
|
3 ln 2 |
x |
|
|
||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dy 0 . |
|
6. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy 0 . |
|||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x ln y |
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заняття 4. Тема: Інтегровані типи диференціальних рівнянь 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Однорідні рівняння та зведені до них. Лінійні рівняння.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1.( y x2 y 2 )dx xdy 0 .
2.2xydx ( y 2 x 2 )dy 0; M (1;1) .
2
3.(2 x 3 y)dx ( x 2 y)dy 0 .
4.xy x cos xy y 0 .
5.( y 3 2x 2 y)dx (2x3 2xy 2 )dy 0 .
6.(6x y 1)dx (4 x y 2)dy 0 .
7.( x y 1)dx (2 x 2 y 1)dy 0 .
8.y( x2 y 2 1)dx ( x2 y2 1)xdy 0 .
9.xydx ( y 4 x2 )dy 0 .
10. |
|
dy |
y 2x x2 . |
11. |
dy |
y cos x sin x cos x . |
|
dx |
dx |
||||
|
|
|
|
|
||
12. |
|
|
|
|
|
|
y (x ctgy) 1. |
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1.xy y(1 ln y ln x) .
2. xdy (x2 y2 y)dx 0 .
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
3. |
(xye y y2 )dx x2e y dy 0 . |
|
|
|||||||
4. |
(6xy 5y2 )dx (3x2 10xy y2 )dy 0 . |
|
|
|||||||
5. |
(x3 3xy2 )dx (2y3 3x2 y)dy 0. |
|
|
|||||||
6. |
(x 2)dx ( y 2x 1)dy 0 . |
|
|
|||||||
7. |
(x 2 y 1)dx (2x 4 y 3)dy 0 . |
|
|
|||||||
8. |
|
y3dx 2(x2 xy2 )dy 0 . |
|
|
||||||
9. |
(xy2 y)dx (x3 y2 3x2 y 3x)dy 0 . |
|
|
|||||||
10. |
|
dy |
y x 1; |
M (0;1) . |
11. |
y y sin x cos x . |
||||
|
|
|||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (x ln y) 1. |
|
|
|
|
|
Заняття 5. Тема: Інтегровані типи диференціальних рівнянь 1-го порядку, розв’язані відносно похідної. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільної сталої. Рівняння типу Бернуллі.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1. |
dy |
|
2xy 1 . |
|
2. |
dy |
|
y |
|
|
sin x |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
x cos x; |
M ( / 2;1) . |
|
|
y sin x y 2 sin |
2 |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
xy |
4. |
|
2 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
x cos x |
dy |
y( x sin x cos x) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 dy |
(2 x) ln y x(e2 x e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y |
|
x |
cos2 x . |
|
8. |
cos x dx y sin x y . |
||||||||||||||||||||
|
|
3
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. |
x ln x |
dy |
y x(ln x 1) . |
|
|||
|
|
dx |
|
2. |
y ytgx x cos 2 x; M (0;1) . |
||
3. |
(y2 6x)y 2y 0; M (0; 1) . |
4.(y y2 )dx (2xy2 x y2 )dy 0 .
5. |
dx (x e y sec2 y)dy 0; |
M (2;0) . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
6. |
sec2 y |
xtgy x . |
7. y |
|
|
x y . |
|||||
dx |
1 |
x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3 dydx y sin x 3y4 sin x 0 . 9. xy y xy2 ln x .
Заняття 6. Тема: Рівняння Рікатті.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Знайти розв’язки рівнянь, підібравши спочатку частинні розв’язки
1. x2 |
dy |
x2 y2 5xy 3 0. |
2. |
dy |
xy2 |
y |
x3 2 0. |
|
dx |
dx |
x |
||||||
|
|
|
|
|
Знайти загальні розв’язки рівнянь
3.(x
4.dydx
5.dy dx
x4 ) y x2 y 2xy2 0, y1 (x) x2 .
|
2 y 2 |
|
y |
x cos x 1 cos 2x, |
y x sin x. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y 2 |
|
|
1 |
4 x |
|
|
2 x |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
, y1 |
x |
|
. |
||
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. |
x3 |
|
|
dy |
y2 x2 y x2 0. |
2. |
|
dy |
y2 x2 1. |
|||||||||
|
|
dx |
|
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. y y2 |
y |
|
|
1 |
, y1 (x) |
1 |
. |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x |
|
|
|
||||
4. |
dy |
|
|
y 2 |
|
y |
x sin x cos |
2 x, y |
|
x cos x. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
x 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
dy |
|
x |
y 2 |
y x cos x sin x , |
y x sin x. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заняття 7. Тема: Рівняння в повних диференціалах.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Знайти розв’язки рівнянь в повних диференціалах
1. y cos x x cos y dx y sin x x sin y dy 0.
4
2. |
|
2x ln x y x |
2 |
y |
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
dx |
ln x y x |
dy |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
2x x 2 y 2 x dx 2 y x 2 y y 2 |
dy 0. |
|
|
4. |
(2x sin y y 2 sin x)dx (x2 cos y 2 y cos x 1)dy |
|||||||||||
5. (6xy x2 3) y 3y 2 2xy 2x 0. |
|
|
||||||||||
|
|
y 2 |
|
y |
|
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
1 |
|
dx 2 |
|
dy 0. 7. |
(1 e y |
)dx e y (1 |
|
)dy |
|||
x2 |
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0.
0.
0 .
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
Знайти розв’язки рівнянь в повних диференціалах
1. y dx 2 y x y dy 0.
2. |
3x 2 |
y 2 |
|
y 2 |
|||
|
x
3.sin y
dx
2 dx
2x3 dy 0. y 3
x 2 1 cos y dy 0. cos 2 y 1
4.(x ln y x2 cos y)dy (x2 y ln y y 2xy)dx 0.
5. |
2x y |
dx |
2 y x |
dy 0. |
|
x 2 y 2 |
x 2 y 2 |
||||
|
|
|
6.(2x cos y y 2 sin x)dx (2 y cos x x2 sin y)dy 0.
7.(xey e x )dy (e y ye x )dx 0.
Заняття 8. Тема: Інтегрувальний множник. Випадки знаходження інтегрувального множника.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Розв’язати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника, знаючи, що вони мають f (x) або f ( y)
1.(2 y xy3 )dx (x x2 y 2 )dy 0.
2.y 2 (x 3y)dx (1 3xy2 )dy 0.
3.2 ydx ( y 2 6x)dy 0.
Зінтегрувати рівняння за допомогою множників ( x y) , |
( xy) |
або ( x y) |
||||||
|
ay |
|
|
|
2 |
dx (xy 1)dy 0. |
|
|
4. y |
|
x dx ady 0. |
5. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
Розв’язати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника, знаючи, що вони мають f (x) або f ( y)
1.(1 x2 y)dx x2 (x y)dy 0.
2. (2xy ax)dx dy 0. |
3. dx (x e y y 2 )dy 0. |
|
|
Зінтегрувати рівняння за допомогою множників (x y) , |
f (xy) |
або (x y) |
|
|
5 |
|
|
4.dx xctg(x y)(dx dy) 0.
5.(2x2 y x)dy ( y 2xy2 x2 y3 )dx =0 .
Заняття 9. Тема: Диференціальні рівняння 1-го порядку, не розв’язані відносно похідної. Метод параметризації
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Знайти загальні розв’язки і загальні інтеграли рівнянь
1. x3 y 2 x2 yy a 0. |
2. xy 2 2 y y 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
3. y 2xy 1 y 2 . |
4. x 1 y 2 y 0. |
|||||||
5. x y sin |
y |
6. 3y 5 yy 1 0. |
||||||
7. x3 y 3 3xy 0. |
8. y 3 1 0. |
|||||||
9. x(2 y |
2 |
) 1. |
|
|
|
|
||
|
10. y y |
ln y . |
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
Знайти загальні розв’язки і загальні інтеграли рівнянь
1. 9 yy 2 4x3 y 4x2 y 0.
3. y xy sin y .
5. y y sin y cos y .
7. y 2 xy x 2 0.
9. x ay b1 y 2 .
2. xy 2 yy a 0.
4. x(1 y 2 ) 1.
6. y y 1 y 2 .
|
8. y 2 2 y 1 0. |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
10. |
x y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Заняття 10. Тема: Інтегрування і пониження порядку диференціальних рівнянь з вищими похідними
Зінтегрувати диференціальні рівняння та відшукати частинні розв’язки там, де задані початкові умови:
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1. |
y 0 , при x0 |
2. |
y x cos x . |
4. |
y y 2 0 . |
6. 2 yy y 2 1.
8.y xex , при
9.y y 2 2e y
|
0, y0 |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
||
1, y0 |
0, y0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3. xyIV |
y e2 x . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
||||
|
|
5. |
xy |
|
|
y |
ln |
|
|
|||||
|
|
7. x 2 y |
y 2 |
0 . |
|
|||||||||
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0 0, y0 1, y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
. |
|
10. |
x |
2 |
yy |
|
|
|
|
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
( y xy ) |
6
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
|
V |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
2. |
y |
x2 . 3. |
y |
ln y |
x 0 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. 2 yy 3y 2 4 y 2 . |
|
|
|
|
5. xy y x2 1 0 . |
|
|||||||||||||
6. |
|
2 |
0 . |
|
|
7. |
y(xy |
|
|
|
|
2 |
(1 |
x) . |
|||||
y y 3y |
|
|
|
|
y ) xy |
|
|||||||||||||
8. |
yy y 2 |
y . |
|
|
9. |
xyy xy 2 yy . |
|
||||||||||||
10. |
y 3 yy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заняття 11. Тема: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Знайти загальні розв’язки лінійних однорідних рівнянь, а також частинні там, де задані початкові умови:
1. y 5 y 4 y 0 . |
|
|
2. y a 2 y 0. |
|||||||
3. y 8 y 0. |
|
|
|
4. |
y ( IV ) 2 y y 0. |
|||||
5. yV |
10 y 9 y 0. |
|
|
6. |
y (6) |
64 y 0. |
||||
7. y |
|
5 y |
|
4 y 0 |
, при |
x0 0, |
y0 |
1, |
|
|
|
|
y0 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. y |
y 0 , при |
y |
|
1, y |
|
0. |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. y ( IV ) a 4 y 0.
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. |
y 7 y 10 y 0 . |
|
2. y 9 y 0 . |
|||||||||
3. y 3 y 0 . |
|
|
4. y 4 y 13 y 0 . |
|||||||||
5. |
2 y |
|
y |
|
y 0, |
y(0) 3, |
|
0 . |
|
|||
|
|
y (0) |
|
|||||||||
6. |
y IV a4 y 0 . |
7. yV 4 y IV 0 . |
8. yVI 2 yV 0 . |
|||||||||
9 |
y |
|
|
4 y |
|
29 y 0, y(0) |
|
|
|
|||
|
|
1, y (0) 7 |
|
Заняття 12. Тема: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі змінними коефіцієнтами. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1. Функції x, x 2 , x3 справджують деяке однорідне лінійне диференціальне рівняння.
Переконатися, що вони утворюють фундаментальну систему, та скласти згадане рівняння. Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.
2. (1 x 2 ) y 2xy 2 y 0, y1 (x) x.
3.y (x2 1) y 0,
4.xy 2 y xy 0,
x2
|
|
|
|
|
|
y (x) e 2 . |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
y (x) |
sin x |
(x 0). |
|||
|
|||||
1 |
|
x |
|
||
|
|
|
7
Скласти лінійне однорідне диференціальне рівняння (найменшого можливого порядку), яке має такі частинні розв’язки.
5. y |
|
|
1, y |
2 |
cos x. |
|
6. |
y |
xe x , |
y |
2 |
e x . |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язати рівняння. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
6 y |
|
|
6 y |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
xy |
|
y 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. y |
x y |
x 2 |
|
x3 |
|
|
x. |
|
8. |
x |
|
y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9. x 2 y xy 3y 0. |
|
|
|
|
10. x 2 y xy y 0. |
||||||||||||||||||||
11. |
|
2x 3 2 y 2x 3 y y 0. |
12. |
x 2 y xy 4 y 10x. |
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. Побудувати диференціальне рівняння, що має таку фундаментальну систему функції 1 та cos2x .
Розв’язати лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.
2.(1 x)y xy y 0; y1 (x) ex .
3.(1 x2 )y xy y 0; y1 (x) 1 x2 .
4. y xy 2 y 0; y1 (x) x2 1.
5.x2 y 2xy 6y 0 .
6.x2 y 2 y 0 .
7.(x 1)3 y 3(x 1)2 y 4(x 1) y 4y 0 .
8.x3 y xy 3y 0 .
9.x2 y xy 3y 5x4
10.x 2 y 4xy 6 y 0. 11. x 2 y xy y 8x3 .
12.x 2 y 3xy 5 y 3x 2 .
Заняття 13, 14. Тема: Методи Лагранжа, Коші і невизначених коефіцієнтів для розв’язування неоднорідних рівнянь вищих порядків
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1. |
y y x2 1 (НК). |
|
|
|
|
|
2. |
|
y 4y x2 (Л). |
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
y 4 y 3y x e2 x (НК). |
|
|
4. |
|
y 2y y e x cos x xe x (НК). |
||||||||||||||||||||||||
5. |
y y ctgx (К). |
|
|
|
|
|
6. |
|
y 6y 9 y |
|
9x2 |
6x 2 |
(Л). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y y x 2 x 1 (НК). |
|
|
|
8. |
|
y 4 y 4x cos 2x |
(Л). |
|
|||||||||||||||||||||
9. |
y |
|
2 y |
|
3y 2x e |
3 x |
(НК). |
10. |
|
y |
|
2 y |
|
y |
|
e x |
|
(К). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Рекомендовані варіанти домашнього завдання |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
tgx (К). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
y |
|
2. |
y |
3y |
2 y e x 1 |
(Л). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
y |
y x (К). |
|
4. |
y |
4 y |
|
cos 2x (Л). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
5.y' ' ' 4 y' ' 5 y' 2 y 2x 3 (НК).
6.y''' 3y' 2 y e x (4x 2 4x 10) (НК).
7. |
y IV |
8 y'' 16 y cos x (НК). |
8. yV y' ' ' x 2 1(НК). |
||||||||
9. |
y IV |
y xex |
cos x (НК). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
10. |
|
|
|
y x 1; y(1) 2, |
3 |
(Л). |
|||||
y |
|
|
y (1) |
Заняття 15. Тема: Крайові задачі. Задача Штурма – Ліувілля. Побудова функції Гріна.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
Яка з крайових задач має розв’язки:
1. |
y |
|
y 0; |
y(0) 0, |
|
1. |
|
y ( / 2) |
|||||
2. |
y |
|
y 0; |
y(0) 0, |
|
|
|
y (2 ) 1. |
Знайти власні значення і власні функції:
3. |
y y; |
y(0) 0, |
y(b) 0. |
||
4. |
y |
|
y; |
|
|
|
y(0) y (b) 0. |
Побудувати функції Гріна для крайових задач:
5. y f (x); y(0) 0, y(1) 0.
6.y y f (x); y(0) y( ), y (0) y ( ).
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. |
y |
|
y 1; |
|
y(1) 1. |
|
y (0) 0, |
||||
2. |
y |
y 1; |
y(0) 0, |
y( / 2) 0. |
|
3. |
y |
|
|
|
0, y( ) 0. |
|
y f (x); y (0) |
4.y y ; y (0) 0, y (l) 0.
5.x2 y y ; y(1) 0, y(a) 0.
Заняття 16. Тема: Розв’язування однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
x 2x y, 1.
y 3x 4 y.
x x z y, 1 1,
4. y x y z, 2,2
z 2x y, 1.3
x x y z, 1 1
7. y x y z, 2 1 |
||
|
2z y, |
3 2. |
z |
x x 8 y 0, 2. y x y 0.
x x y z, 1 1, 5. y x y, 1 2i
2
z 3x z, 1 2i3
3. x x 3 y, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
3x y. |
|
|
|
x 4x y z, 1 |
||
|
|
|
|
6. y x 2 y z, 2 |
|||
|
|
2z, |
3 |
|
z x y |
2,
3,
3.
9
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
1. x x y, |
2. x x y, |
|
|
y y 4x. |
y 3y 2x. |
x x 2 y z, 1 0, |
|
|
|
4. y y x z, |
2 2, |
|
3 1. |
z x z, |
|
x 2x y z, |
1 0, |
|
|
6. y 3x 2 y 3z, 2 1, |
|
|
3 1. |
z y 2z x, |
|
|
|
3. |
x x 5 y 0, |
|
|
y x y 0. |
1 2, |
|
x 2x y, |
|
|
|
|
5. y x 3y z, 2 3 i |
||
|
2 y 3z x, |
3 3 i. |
z |
||
x y 2z x, 1 1, |
||
|
|
|
7. y 4x y, |
2 1, |
|
|
2x y z, |
3 1. |
z |
Заняття 17,18. Тема: Методи розв’язування неоднорідних систем з постійним коефіцієнтами. Застосування методу невизначених коефіцієнтів.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1.x y 2et ,y x t 2 .
x x y 8t,
5.
y 5x y.
2.x 3x 2 y 4e5t ,y x 2 y.
|
|
|
t 1, |
|
2 |
||
6. |
x y tg |
||
|
|
|
y x tgt.
3.x 4x y e2t ,y y 2x.
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x 4x 2 y |
|
|
|
|
, |
|||
7. |
et |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
y 6x 3y |
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e |
t |
1 |
|||
|
|
|
|
|
Рекомендовані приклади для домашнього завдання
x y 5cos t,
1.
y 2x y.
x 2 y x 1,
3.
y 3y 2x.
x 2x y,
y 2 y x 5et sin t.
x 2x 4 y 4e 2t ,
2.
y 2x 2 y.
|
|
|
|
|
|
4. |
x x 2 y 16tet , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x 2 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y x, |
|
|
|
|
6. |
|
e |
3t |
|
|
|
y 4 y 3x |
|
. |
||
|
|
|
|||
|
e2t 1 |
||||
|
|
|
|
x 2x y,
4.y y 2x 18.
|
|
|
|
1 |
|
|
x x |
y |
|
, |
|
|
cos t |
||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x y. |
|
|
Заняття 19,20. Тема: Системи в симетричній формі. Розв’язування лінійних рівнянь першого порядку з частинними похідними. Метод характеристик. Задача Коші.
Рекомендовані приклади для аудиторної роботи
1. |
dx |
|
dy |
|
dz |
. |
2. |
dx |
|
dy |
|
dz |
. |
|
2 y z |
|
y |
|
z |
|
z |
|
xz |
|
y |
10