pmvm

Якщо крива задана параметрично L = f(x(t); y = y(t)); t 2 [a; b]g; тодi використову¹мо формулу

Якщо крива задана в полярних координатах L = f(r('); '); ' 2 [ ; ]g;

тодi раху¹мо довжину наступним чином:

1)Обчислити довжину криво¨ y = lnx вiд точки з абсцисою x = 1 до

p x = 3:

2)Обчислити довжину цикло¨ди x = 2(t sint); y = 2(1 cost):

3)Знайти довжину дуги спiралi Архiмеда r = 2' вiд початку координат до точки (R; ) :

Об'¹м Об'¹м тiла утворене обертанням навколо осi абсцис f0 y y(x); x 2 [a; b]g дорiвню¹

Об'¹м тiла утворене обертанням навколо осi ординат f0 y y(x); x 2 [0; a]g дорiвню¹

21

1)Обчислити об'¹м кругового конуса навколо осi 0х i 0y, утвореного прямою y = HR x; проведено¨ вiд початку координат до точки з абсцисою

x = H.

Домашн¹ завдання

1)Обчислити площу фiгури, обмежено¨ кривими y = x; y = x + sin2x; 0 x :

2)Обчислити площу фiгури, обмежено¨ кривими

x = 2t t2; y = 2t2 t3; t 2 [0; 2]:

3)Обчислити площу фiгури, обмежено¨ кривими r = 3 + 2cos': 4) Обчислити довжину криво¨ y = lncosx; 0 x 4 :

5)Обчислити довжину криво¨ y = 1 + cost; x = 1 sint:

6)Обчислити довжину криво¨ r = 1 + cos':

7)Обчислити об'¹м фiгуру обернення y = e x; x = 0; x = 1 навколо осi

0õ i 0y.

8Частиннi похiднi. Теорiя поля.

Аудиторна робота.

Скалярне поле Градi¹нтом скалярного поля u = u(x; y; z) назива¹ться наступний вектор(напрямок найшвидшого зростання поля u)

22

Похiдною скалярного поля u = u(x; y; z) за напрямком l обчислю¹ться за формулою

Векторне поле.

Дивергенцi¹ю векторного поля ~a = (P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))

назива¹ться скаляр

div~a = r ~a = @P@x + @Q@y + @R@z :

Якщо div~a(M) > 0, то точка M назива¹ться джерелом,якщо div~a(M) < 0; то точка назива¹ться стоком. Векторне поле, у всiх точках якого дивергенцiя нульова, назива¹ться солено¨дальним. Потiк такого поля через будь-яку поверхню дорiвню¹ нулю.

Ротором (вихрем) векторного поля ~a = (P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))

назива¹ться вектор

Якщо для кожно¨ точки поля ротор дорiвню¹ нулю, то поле назива¹ться потенцiальним, безвихровим.

Властивостi.

rot(gradu) = 0;

div(rot~a) = 0;

23

div(gradu) = 42u = @2u + @2u + @2u Лапласiан: @x2 @y2 @z2

Аудиторна робота 1) Обчислити du; d2u.

x z

a)u = ey e x ;

p

b)u = x2 + y2 + z2:

2) Порахувати gradu; div(gradu) скалярного поля u = xy + zx â òî÷öi Ì(1,0,1).

3) Знайти похiдну функцi¨ z = e2x y в точцi (1; 0) за напрямком gradz;

äå z = sin3xcos2y â òî÷öi (1; 0):

4) Перевiрити на потенцiальнiсть поля ~a = (xz; 2y; xy) та ~a = f(r)~r.

p

5*) При якому f поле ~a = f( x2 + y2)(x; y) солено¨дальне? 6) Перевiрити чи поле солено¨дальне

c)rot(u(r)F (r)) = urotF + [gradu; rotF ]:

Домашня робота

1) Обчислити du; d2u.

xy

a)u = 2 z ln(zy);

b)u = xyz + sinxy:

24

2) Порахувати gradu; div(gradu) скалярного поля u = arctg(xy + zx) в

òî÷öi M = (1; 1; 1).

4) Перевiрити на потенцiальнiсть поля ~a = (ln(1 + z2); ln(1 + x2); xz) .

~

b)div u(~r)F (~r) ; ~r = (x; y; z);

hi

~

c)rot( ~a(r); F (r) ):

9Комплекснi числа.

Комплексне число z = a + ib:

Комплекснi числа рiвнi, якщо рiвнi ¨х дiйснi частини та уявнi частини вiдповiдно.

Операцi¨:

z1 z2 = (a1 a2) + i(b1 b2); z1z2 = (a1a2 b1b2) + i(a1b2 + a2b1);

25

Комплексне число можна представити в тригонометричнiй та показниковiй формах z = a + ib = (cos' + sin') = ei': Модуль i

аргумент визначаються за наступними формулами: модуль p

= a2 + b2;

аргумент

8

Операцi¨ множення та дiлення над тригонометричними числами краще проводити в тригонометричнiй або показниковiй формах. Пiднесення до степеня: справедлива Формула Муавра:

zn = n(cosn' + isinn'):

В показниковiй формi стислiший запис

zn = nein':

Корiнь довiльного степеня: для комплексного числа корiнь m-го степеня ма¹ m значень, а саме в показниковiй формi

Зручними для використання ¹ також формули Ейлера:

26

cos' = ei' + e i'

2

sin' = ei' e i' :

2i

Аудиторна робота.

3. Знайти x, y при яких z1 = z2; ÿêùî z1 = x2 7y2 + 9xi; z2 = 12 + 2i x2i:

4. Зобразити на комплекснiй площинi множину точок, якi задовольняють умову: a)Rez2 < 1 2Rez; b)jz2j < Rez2:

5.Знайти модуль i головне значення аргументу комсплексного числа, подати в тригонометричнiй формi, показниковiй формi: а)-3i; b)-2-2i;

p

c)1 3i; d)-10; e)sin34 icos34 p

6.Обчислити ( 1 i)100; (i 3)13:

7. Виразити через cos '; sin ' sin 7'

8.Виразити через cos та sin кратних кутiв cos5 '

p p p

9.Знайти всi значення коренiв a) 5 32; b) 4 8i; c) 3 i 1

Домашня робота

3. Знайти x, y при яких z1 = z2, ÿêùî z1 = 2x2 7y + 4xi; z2 = y i + x2i:

27

4. Зобразити на комплекснiй площинi множину точок, якi задовольняють умову: a)Rez2 < 1 2Imz; b)jz2j < 4 + 2RezImz:

5.Знайти модуль i головне значення аргументу комсплексного числа, подати в тригонометричнiй формi, показниковiй формi:

p

6.Обчислити (2 3i)2011; (i 12)12

7. Виразити через cos '; cos ' значення sin 7': 8.Виразити через cos та

sin кратних кутiв sin5 ' 9.Знайти всi значення коренiв

p p p p a) 3 1; b) 4 i; c) 3 i 3

10 Степеневi ряди.

Означення. Степеневим рядом назива¹ться вираз

1

X

anxn:

n=1

Означення.Узагальнено степеневим рядом назива¹ться вираз

1

X

an (f(x))n ;

n=1

де f(x) деякий вираз. Якщо покласти f(x) = t; то дослiджу¹мо

степеневий ряд

1

X

antn:

n=1

Означення. Степеневий ряд збiга¹ться при x = x0, якщо iсну¹ число S

òàêå, ùî

1

X

anxn = S:

n=1

28

Степеневий ряд збiга¹ться для кожного x з iнтервалу збiжностi

( R; R), де радiус збiжностi R визнача¹ться за формулою Кошi-Адамара

1p

=lim sup n janj:

R n!1

Також радiус збiжностi можна обчислити за допомогою iншо¨ формули

Щоб розкласти функцiю в степеневий ряд можна використати формули Тейлора для розкладiв елементарних функцiй:

n

n=1

1

(1 + x) = 1 + X ( 1):::( n + 1)xn; R = 1; n!

n=1

29

n=0

Аудиторна робота Обчислити радiус та iнтервали збiжностi

5) Розкласти функцiю f в степеневий ряд i вказати радiус збiжностi:

a)f(x) = chx;

b)f(x) = sin2x;

30