Тема 4. Моделирование процессов в линейных нестационарных динамических системах с использованием подсистемы MatLab “Simulink”

4.1. Краткие сведения из теории линейных нестационарных и нелинейных систем автоматического управления

Линейные стационарные системы занимают важное место в теории автоматического управления. Однако, “... образно говоря, линейные стационарныесистемы – (лишь) маленький островок в безграничномокеане нелинейных и нестационарных систем” [академик Цыпкин Я.З. -- известный советский ученый].

На практике чаще встречаются САУ, которые имеют математические модели, описываемые:

- линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентамиили

- нелинейными дифференциальными уравнениями.

4.1.1. Особенности процессов в линейных нестационарных системах

Линейная САУ называется нестационарной, если её параметры (коэффициенты, постоянные времени и т.п.) меняются во времени. Это обстоятельство приводит к изменению коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Оно также служит признаком нестационарности системы.

Так как коэффициенты дифференциального уравнения стационарной САУ зависят от времени, то логично предположить, что отэтого же временибудут зависеть все её свойства, в том числе: устойчивость, качество переходных процессов, характеристики установившегося состояния при любых типах входных воздействий.

В отличие от линейных стационарных систем, обладающих характеристическим уравнением с постоянными коэффициентами, линейные нестационарные САУ имеют характеристическое уравнение в виде нелинейного дифференциального уравнения.

Найти его корни и по ним оценить устойчивость нестационарной САУ практически невозможнодаже в системе второго порядка.

Поэтому иногда пытаются судить о свойствах нестационарной САУ по корням так называемого формального характеристического уравнения, получаемого обычным формальным путем (заменой знака дифференцирования операторомp=d/dt) из соответствующего дифференциального уравнения.

Например, для дифференциального уравнения

(1)

формальное характеристическое уравнение имеет вид

. (2)

Уравнение (2) позволяет в первом приближении судить о свойствах нестационарной САУ, если его коэффициенты сравнительно медленноменяются во времени. Для этого используетсяметод“замороженных” коэффициентов.

Данный метод используется в двух вариантах:

• “замораживание” с постоянными параметрами;

• “замораживание” с переменнымипараметрами.

В первомварианте, чтобы получитьпостоянныепараметры, поступают, следующим образом:

- берут дифференциальное уравнение вида (1);

- задаются некоторым временем , вблизи которого хотят узнать о свойствах САУ;

- вычисляют коэффициенты уравнения типа (1) при , вследствие чего приходят к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Далее, по этому дифференциальному уравнению судят о всех свойствах нестационарной САУ вблизи точки .Эти суждения тем ближе к истине, чеммедленнее меняются во времени коэффициенты уравнения (1).

Во второмварианте (“замораживание” спеременнымипараметрами) захарактеристическое уравнение нестационарнойСАУ берут уравнение вида (2). Его корни будут ужефункциями времени. Если они медленно меняются во времени, то информация о поведении САУ во времени более достоверна, чем при полном замораживании коэффициентов. Однако при сильном изменении параметров оба метода могут приводить к принципиальным ошибкам.

Таким образом, выявляется еще одна особенность нестационарных САУ: в них нельзя говорить об устойчивостив целом, а можно говорить лишь об устойчивостиотдельных компонент вектора состояния или вектора выхода.