П.3. Основные свойства

1.Монотонные функции

Определение 6.5. Пусть функция задана на некотором множествеХ. Данная функция называетсявозрастающей (убывающей)на множествеЕХ, если для любыхх₁их₂из множестваЕ, таких чтох₁х₂, выполняется неравенство

.

Иначе: функция fназывается возрастающей (убывающей) на множествеЕ, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 12).

Рис.12

Если же для любых значений х₁,х₂, взятых из некоторого множестваЕÌХи удовлетворяющих условиюх₁ х₂, вытекает некоторое неравенствоf(х₁) f(х₂) (илиf(х₁) f(х₂)), то функция называетсянеубывающей (невозрастающей)на множествеЕ.

Пример 6.6. Доказать, что сумма двух возрастающих ( убывающих ) на множествеЕфункции есть функция возрастающая ( убывающая) на этом множестве.

2. Функции чётные и нечётные

Определение 6.6. Функция называетсячетной (нечетной),если при изменении знака у любого значения аргумента, взятого из области определения функции, значения функции не изменяются (изменяют только знак), т.е. .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.7. Доказать, что произведение чётной функции на нечётную есть функция нечётная.

3. Периодические функции

Определение 6.7.Функция называетсяпериодической, если существует такое числоl0 (называемое периодом), что в каждой точке области определения функции выполняется условие .

Пример 6.8. Доказать, что если числоl- период функции, то числоkl(k=-1, ±2, …) также является периодом.

4. Ограниченные и неограниченные функции

П.4. Операции над функциями

Определение 6.8.Суммой(разностью,произведением) функцийf иg называется функцияf+g(f–g, fg), область определения которой(,), а значения вычисляются по формуле(f+g)(х)=f(x)+g(x), (f–g)(x) =f(x)–g(x), (fg)(x)=f(x) g(x).

Пример 6.9.

Определение 6.9.Частнымфункцийf иg называется функция, область определения которой, причём исключаем тех, для которых

g (х)=0, а значения вычисляются по формуле.

Пример 6.10.

Определение 6.10.Пустьyявляется функцией переменнойu, а переменнаяu, в свою очередь, является функцией от переменнойх, то есть и . Тогда функция называется функцией от функции (илисложной функцией), если область определения функцииf содержит множество значений функции. Переменнаяив этом случае называется промежуточной переменной.

Пример 6.11.

П.5. Обратная функция

Определение 6.11.Пусть функция определена и возрастает (убывает) на промежуткеХ, а область значений функции есть промежутокY. Каждому значениюу₀из промежуткаYбудет соответствовать одно значениех₀Хтакое, что (рис. 13). Следовательно, на промежуткеYопределена функция . Функция называется обратной для функции и, наоборот, функция являетсяобратнойдля функции .

Рис. 13

Переход от функции к обратной функции сводится только к изменению роли множествХиY. Поэтому графики функций и (как множества точек плоскостихОу) совпадают. Однако обычно и для обратной функции аргумент обозначают черезх, а значения функции –– черезу, то есть вместо пишут . Графики функции и обратной функции в этом случае будут симметричны относительно прямойу=х(рис. 14).

Рис. 14

Пример 6.12.