§ 6. Действительные функции одной действительной переменной п.1. Понятие функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие.

Определение 6.1. Соответствие между множествамиXиY, при котором каждому элементухмножестваХсоответствует один и только один элементумножестваY, называетсяфункцией, заданной на множествеXсо значением в множествеY.

Функция обозначаетсяпри помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквыf.

Элемент хÎХназываетсяаргументомилинезависимой переменнойфункцииf. Множество всех таких элементовхÎХназываютобластью определенияфункцииfи обозначаютD(f) (D(f) ). А элементyÎY, соответствующий элементух, называетсязначением функцииfи обозначаетсяf(х). Множество, состоящее из всех значений функцииf, называютобластью(множеством)значенийфункцииfи обозначаютЕ(f) (Е(f) ).

Заметим, что если уЕ(f), то существует по крайней мере один такойхD(f), чтоf(х) =у.

Функцию f, заданную на множествеX со значениями в множествеY, обозначают также следующим образом:

Определение 6.2. Две функцииfиgназывают равными (пишутf=g), еслиD(f) =D(g) иf(х) =g(х) для каждогохD(f).

Функции называются также отображениями. Если функция fзадана на паре множествХиY, т.е.fХ´Y, то говорят, чтоfесть отображениеиз Х в Y.

Если X = D(f) иЕ(f)Y, то говорят, чтоfесть отображение множестваХ в Y.

Если X = D(f) иY = Е(f), то говорят, чтоfесть отображение множестваХ на Y.

Определение 6.3.Функцияf , область определения и область значений которой состоят из некоторого множества действительных чисел, называетсядействительной функцией одной действительной переменной.

Ниже для краткости будем говорить «функция», подразумевая действительную функцию одной действительной переменной.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1. заданы два числовых множества ХиY;

2. задан способ (правило), при помощи которого каждому числу хÎХставится в соответствие единственное числоyÎY.

П.2. Способы задания функции.

1. Аналитический, т. е. с помощью формулы. Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл. Иногда функция задается в области определения не одной формулой, а несколькими разными формулами.Пример 6.1. Функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

Пример 6.2. Функция Дирихле

Пример 6.3. y=sgn x

2. Табличный способ.

3. Словесный(описывают словами закон, по которому находятся значения функции).

Пример 6.4.Функцияfкаждому квадрату со сторонойаставит в соответствие его площадь.S(a)=a²,a>0.

Пример 6.5.Каждому действительному числухпоставим в соответствие наибольшее целое число, которое не превосходитy. Эта функция –Антье, обозначаетсяE(x)=[x], её график.

4. Графами.

5. Графический (только для числовых функций числового аргумента).

Определение 6.4.Графикомфункции , заданной на множествеХ, называется множество всех точек плоскости с координатами , гдех ÎD(f).

Заметим, для того чтобы некоторое множество точек плоскости являлось графиком какой–либо функции, необходимо, чтобы это множество имело не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.

Рис. 10 Рис. 11